Calcule os seguintes limites:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite de
quando
se aproximam de
. Vamos usar conceitos de cálculo de limites em funções de duas variáveis e propriedades do seno e do limite de
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar separadamente as partes da função. Temos
e
. Sabemos que, quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Então,
vai se aproximar de
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para
. Existe uma propriedade fundamental que diz que
. Isso significa que, quando
se aproxima de 0,
se aproxima de 1.
Passo 4
Agora, vamos juntar essas duas partes. Como
se aproxima de
e
se aproxima de 1, podemos multiplicar esses resultados para encontrar o limite da função original.
Passo 5
Fazendo as contas:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Mostre que
satisfaz a equação de calor para constantes
e
.
Considere o sólido limitado por baixo pelo plano
; limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro
. (a) Escreva o volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas retangulares
Calcule os seguintes limites:
;
Estude a diferenciabilidade da função
no ponto
indicado:
em
;