Considere o sólido limitado por baixo pelo plano
; limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro
. (a) Escreva o volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas retangulares
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o volume de um sólido que está limitado por alguns elementos específicos: por baixo pelo plano
, por cima por um cone dado por
e, lateralmente, por um cilindro com a equação
. A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente integrais duplas em coordenadas retangulares. A gente vai precisar entender como definir os limites de integração para
e
com base nas equações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o cilindro
. Esse cilindro tem raio 1 e está centrado no ponto
no plano
. Então, nossa área de integração para
e
vai ser o interior desse círculo.
Passo 3
Para definir os limites de integração, é útil resolver para
em termos de
. A equação
pode ser reescrita como:
Isso nos dá os limites para
em função de
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites para
. Observando a equação do cilindro,
deve ser menor ou igual a 1, então:
Tomando a raiz quadrada:
Então,
varia de 0 a 2.
Passo 5
Com os limites de
e
definidos, podemos escrever a integral dupla para o volume. A altura do sólido em cada ponto
é dada por
. Então, o volume
é:
Resposta
O volume do sólido pode ser expresso pela integral dupla:
Exercícios relacionados
Dê o domínio das seguintes funções reais:
f)
f)
Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos yz e
e faça um esboço do gráfico:
Mostre que
satisfaz a equação de calor para constantes
e
.
Calcule os seguintes limites:
;