Considere o sólido limitado por baixo pelo plano ; limitado por cima pelo cone e limitado lateralmente pelo cilindro . (a) Escreva o volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas retangulares

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o volume de um sólido que está limitado por alguns elementos específicos: por baixo pelo plano , por cima por um cone dado por e, lateralmente, por um cilindro com a equação . A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente integrais duplas em coordenadas retangulares. A gente vai precisar entender como definir os limites de integração para e com base nas equações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o cilindro . Esse cilindro tem raio 1 e está centrado no ponto no plano . Então, nossa área de integração para e vai ser o interior desse círculo.

Passo 3

Para definir os limites de integração, é útil resolver para em termos de . A equação pode ser reescrita como:
Isso nos dá os limites para em função de .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites para . Observando a equação do cilindro, deve ser menor ou igual a 1, então:
Tomando a raiz quadrada:
Então, varia de 0 a 2.

Passo 5

Com os limites de e definidos, podemos escrever a integral dupla para o volume. A altura do sólido em cada ponto é dada por . Então, o volume é:

Resposta

O volume do sólido pode ser expresso pela integral dupla:

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Dê o domínio das seguintes funções reais:
f)
Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos yz e e faça um esboço do gráfico:
Mostre que satisfaz a equação de calor para constantes e .
Calcule os seguintes limites: ;