Calcule os seguintes limites pela regra do desprezo: lim x infty raiz[3]x^3+3 x^2+2 x+1raiz[4]4 x^4-6 x^3+raiz8 x^2-9 x+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x infty raiz[3]x^3+3 x^2 + 2 x + 1raiz[4]4 x^4-6 x^3 + raiz8 x^2-9 x + 4
Esse problema está na área de Cálculo, especificamente envolvendo limites no infinito. Vamos usar a regra do desprezo, que nos ajuda a simplificar expressões grandes focando apenas nos termos de maior grau.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão e identificar quais termos predominam quando raiz[3]x^3 + 3x^2 + 2x + 1 tende ao infinito.
No numerador:
raiz[4]4x^4 - 6x^3 + raiz8x^2 - 9x + 4
O termo de maior grau dentro da raiz cúbica é , então os e o se tornam desprezíveis.
No denominador:
Dentro da raiz quarta, o termo dominante é , e na raiz quadrada, o domina. O , e o podem ser ignorados.

Passo 3

Vamos simplificar cada parte adotando a regra do desprezo.
No numerador:
raiz[3]x^3 + 3x^2 approx raiz[3]x^3 = x
Então, o numerador fica:
x + 2x = 3x
No denominador:
raiz[4]4x^4 - 6x^3 approx raiz[4]4x^4 = raiz[4]4 cdot x = raiz[4]4 cdot x
raiz8x^2 - 9x approx raiz8x^2 = raiz8 cdot x
Portanto, o denominador fica:
raiz[4]4 cdot x + raiz8 cdot x = ( raiz[4]4 + raiz8 ) x

Passo 4

Agora, nossa expressão simplificada é:
3x( raiz[4]4 + raiz8 ) x
Os 3raiz[4]4 + raiz8 no numerador e no denominador se cancelam:

Passo 5

Para finalizar, vamos calcular os valores das raízes:
raiz[4]4 = 4^1/4 = (2^2)^1/4 = 2^1/2 = raiz2
raiz8 = raiz4 cdot 2 = 2raiz2
Então, a expressão fica:
3raiz2 + 2raiz2 = 33raiz2 = 1raiz2 = raiz22

Resposta

lim x infty raiz[3]x^3+3 x^2 + 2 x + 1raiz[4]4 x^4-6 x^3 + raiz8 x^2-9 x + 4 = raiz22

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