Calcule os seguintes limites do tipo
:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve o conteúdo de Limites de Funções, especificamente analisando o comportamento de uma fração quando o denominador se aproxima de zero. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e identificar o comportamento das funções próximas ao ponto de interesse.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Vimos que o denominador se torna zero, o que indica que o limite pode tender para infinito ou menos infinito, dependendo do comportamento da função perto de
.
Passo 3
Para entender melhor, vamos fatorar o denominador:
Agora, a expressão do limite fica:
Passo 4
Vamos analisar o numerador
. Podemos fatorar esse polinômio:
Então, a expressão do limite agora é:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento de
se aproximando de 2 pelo lado direito (
) e pelo lado esquerdo (
).
-
Para
: é um número pequeno positivo, então o denominador será positivo, já que também é positivo. -
Para
: é um número pequeno negativo, então o denominador será negativo, pois continua positivo.
Passo 6
O numerador
quando
se aproxima de 2 é:
Como 10 é positivo, o sinal do limite dependerá apenas do denominador.
Passo 7
Juntando tudo:
-
Quando
: A expressão tende para . -
Quando
: A expressão tende para .
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe no sentido finito, mas podemos descrever o comportamento.
Resposta
O limite
não existe, pois tende a
quando
se aproxima de 2 pela direita e a
quando se aproxima pela esquerda.