Calcule os seguintes limites do tipo C0 : lim x 2 x^2+3 xx^2-4

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o conteúdo de Limites de Funções, especificamente analisando o comportamento de uma fração quando o denominador se aproxima de zero. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e identificar o comportamento das funções próximas ao ponto de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 2^2 + 3 times 22^2 - 4 = 4 + 64 - 4 = 100 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Vimos que o denominador se torna zero, o que indica que o limite pode tender para infinito ou menos infinito, dependendo do comportamento da função perto de .

Passo 3

Para entender melhor, vamos fatorar o denominador:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Agora, a expressão do limite fica:
x^2 + 3x(x - 2)(x + 2)

Passo 4

Vamos analisar o numerador x^2 + 3x = x(x + 3) . Podemos fatorar esse polinômio:
x(x + 3)(x - 2)(x + 2)
Então, a expressão do limite agora é:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de se aproximando de 2 pelo lado direito ( ) e pelo lado esquerdo ( ).
  • Para : é um número pequeno positivo, então o denominador será positivo, já que também é positivo.
  • Para : é um número pequeno negativo, então o denominador será negativo, pois continua positivo.

Passo 6

O numerador 2 times (2 + 3) = 10 quando se aproxima de 2 é:
Como 10 é positivo, o sinal do limite dependerá apenas do denominador.

Passo 7

Juntando tudo:
  • Quando : A expressão tende para .
  • Quando : A expressão tende para .
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe no sentido finito, mas podemos descrever o comportamento.

Resposta

O limite não existe, pois tende a quando se aproxima de 2 pela direita e a quando se aproxima pela esquerda.

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