Calcule os seguintes limites do tipo
:
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, especificamente quando temos uma expressão do tipo
, onde
é uma constante. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam perto do ponto
, especialmente a função logaritmo natural
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente quando
se aproxima de 1.
-
Numerador (
): Quando se aproxima de 1, substituímos na expressão:
Portanto, o numerador tende para. -
Denominador (
): Vamos ver o comportamento de quando se aproxima de 1. Sabemos que:
Então,tende para .
Passo 3
Agora, temos uma expressão onde o numerador tende para
e o denominador tende para
. Isso nos dá um limite do tipo
, onde
.
Passo 4
Para entender melhor, precisamos saber se o denominador está se aproximando de
de forma positiva ou negativa. Como estamos elevando
ao quadrado, o denominador
sempre será positivo, independente de
se aproximar de 1 por valores maiores ou menores que 1.
Passo 5
Então, temos uma constante negativa dividida por um valor cada vez menor positivo, o que significa que o quociente vai tendendo para um valor negativo muito grande.
Resposta
O limite é
.