Calcule os seguintes limites do tipo C0 : lim x 1 x-3(ln x)^2

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 1 x-3(ln x)^2. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, especificamente quando temos uma expressão do tipo C0, onde C é uma constante. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam perto do ponto x = 1, especialmente a função logaritmo natural ln x.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente quando x se aproxima de 1.
  • Numerador ( x - 3): Quando x se aproxima de 1, substituímos na expressão:
    1 - 3 = -2
    Portanto, o numerador tende para -2.
  • Denominador ( ( ln x )^2): Vamos ver o comportamento de ln x quando x se aproxima de 1. Sabemos que:
    ln 1 = 0
    Então, (ln x)^2 tende para 0.

Passo 3

Agora, temos uma expressão onde o numerador tende para -2 e o denominador tende para 0. Isso nos dá um limite do tipo C0, onde C = -2.

Passo 4

Para entender melhor, precisamos saber se o denominador está se aproximando de 0 de forma positiva ou negativa. Como estamos elevando ln x ao quadrado, o denominador (ln x)^2 sempre será positivo, independente de x se aproximar de 1 por valores maiores ou menores que 1.

Passo 5

Então, temos uma constante negativa dividida por um valor cada vez menor positivo, o que significa que o quociente vai tendendo para um valor negativo muito grande.

Resposta

O limite é -infty.

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