Calcule os seguintes limites do tipo C0 : lim x 3 e^xx^2-6 x+9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de uma função que é do tipo C0, onde C é uma constante. Especificamente, temos:
lim x 3 e^xx^2-6 x+9
Para resolver isso, vamos precisar entender o que acontece com o numerador e o denominador quando x se aproxima de 3.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador, que é e^x. Sabemos que exponencial é uma função contínua, então quando x se aproxima de 3, e^x se aproxima de e^3. Ou seja:
limx to 3 e^x = e^3

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador: x^2 - 6x + 9. Podemos fatorar essa expressão para facilitar a análise:
x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2
Então, o denominador é (x - 3)^2.

Passo 4

Vamos calcular o limite do denominador quando x se aproxima de 3:
limx to 3 (x - 3)^2 = (3 - 3)^2 = 0
Então, o denominador está se aproximando de 0.

Passo 5

Agora, juntando as informações do numerador e do denominador, temos que a expressão do limite está se tornando e^30. Isso nos indica que estamos diante de uma situação onde temos uma constante dividida por um número que está se aproximando de zero.

Passo 6

Quando uma constante positiva é dividida por um número que se aproxima de zero, o resultado tende para o infinito positivo. Matemáticamente, isso é representado por:
C0^+ = +infty (se C > 0 )
No nosso caso, C = e^3, que é positivo.

Resposta

Portanto, o limite é:
lim x 3 e^xx^2-6 x+9 = +infty

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