Calcule os seguintes limites do tipo C0 : lim x -2 x^2-5 x+6x^2+6 x+8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de da função . Esse tipo de limite é conhecido como uma forma do tipo , onde o numerador se aproxima de uma constante e o denominador se aproxima de zero. Para resolver, vamos precisar entender um pouco de álgebra e análise de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão fatorando o numerador e o denominador. Fatorar significa quebrar os polinômios em produtos de expressões mais simples. Vamos começar com o numerador x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) :
x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)
Agora, vamos fatorar o denominador (x - 2)(x - 3)(x + 2)(x + 4) :
Então, a expressão simplificada fica:

Passo 3

Agora que a expressão está fatorada, vamos analisar o comportamento dela quando (x + 2) = (-2 + 2) = 0 se aproxima de (x - 2)(x - 3) = (-2 - 2)(-2 - 3) = (-4)(-5) = 20 . Substituindo diretamente na expressão, percebemos que o denominador se torna zero:
E o numerador fica:
Então, temos uma forma do tipo , o que indica que o limite pode tender para ou , dependendo de como se aproxima de .

Passo 4

Para entender melhor, vamos analisar os limites laterais, ou seja, quando se aproxima de pela direita ( ) e pela esquerda ( ).
1. Aproximando-se pela direita ( ):
  • será positivo, pois estamos chegando de valores maiores que .
  • será positivo, já que .
  • Então, o denominador será positivo.
  • O numerador já vimos que é 20.
  • Portanto, ó tende a .
2. Aproximando-se pela esquerda ( ):
  • será negativo, pois estamos chegando de valores menores que .
  • continua positivo.
  • Então, o denominador será negativo.
  • O numerador é 20.
  • Portanto, ó tende a .

Resposta

O limite quando se aproxima de de cima é e de baixo é . Como os limites laterais são diferentes, concluímos que o limite não existe.

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