Calcule os seguintes limites do tipo
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando
se aproxima de
da função
. Esse tipo de limite é conhecido como uma forma do tipo
, onde o numerador se aproxima de uma constante e o denominador se aproxima de zero. Para resolver, vamos precisar entender um pouco de álgebra e análise de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão fatorando o numerador e o denominador. Fatorar significa quebrar os polinômios em produtos de expressões mais simples. Vamos começar com o numerador
:
Agora, vamos fatorar o denominador
:
Então, a expressão simplificada fica:
Passo 3
Agora que a expressão está fatorada, vamos analisar o comportamento dela quando
se aproxima de
. Substituindo
diretamente na expressão, percebemos que o denominador se torna zero:
E o numerador fica:
Então, temos uma forma do tipo
, o que indica que o limite pode tender para
ou
, dependendo de como
se aproxima de
.
Passo 4
Para entender melhor, vamos analisar os limites laterais, ou seja, quando
se aproxima de
pela direita (
) e pela esquerda (
).
1. Aproximando-se pela direita (
):
-
será positivo, pois estamos chegando de valores maiores que . -
será positivo, já que . - Então, o denominador
será positivo. - O numerador já vimos que é 20.
- Portanto,
tende a .
2. Aproximando-se pela esquerda (
):
-
será negativo, pois estamos chegando de valores menores que . -
continua positivo. - Então, o denominador
será negativo. - O numerador é 20.
- Portanto,
tende a .
Resposta
O limite quando
se aproxima de
de cima é
e de baixo é
. Como os limites laterais são diferentes, concluímos que o limite
não existe.
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