Calcule os seguintes limites usando L Hôpital, quando possível: lim x -1 4 x^wed>= 3+x^wed>= 2+3 / x^wed>= 5+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o limite quando se aproxima de da expressão . A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites, e vamos usar a Regra de L’Hôpital para resolver isso. A regra é útil quando temos uma forma indeterminada, como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir Numerador = 4(-1)^3 + (-1)^2 + 3 = -4 + 1 + 3 = 0 na expressão para ver se obtemos uma forma indeterminada:
Denominador = (-1)^5 + 1 = -1 + 1 = 0
Como tanto o numerador quanto o denominador resultam em , temos uma forma , o que nos permite aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se:
limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty,
então podemos calcular:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x),
desde que as derivadas existam e o limite à direita exista ou seja infinito.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Numerador: f'(x) = 12x^2 + 2x
g'(x) = 5x^4
Denominador:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
limx to -1 4x^3 + x^2 + 3x^5 + 1 = limx to -1 12x^2 + 2x5x^4

Passo 6

Vamos substituir Numerador = 12(-1)^2 + 2(-1) = 12(1) - 2 = 12 - 2 = 10 na nova expressão:
Denominador = 5(-1)^4 = 5(1) = 5

Passo 7

Agora, temos:
limx to -1 12x^2 + 2x5x^4 = 105 = 2

Resposta

O limite quando se aproxima de é .

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