Calcule os seguintes limites usando L Hôpital, quando possível:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o limite quando se aproxima de da expressão . A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites, e vamos usar a Regra de L’Hôpital para resolver isso. A regra é útil quando temos uma forma indeterminada, como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na expressão para ver se obtemos uma forma indeterminada:
Como tanto o numerador quanto o denominador resultam em , temos uma forma , o que nos permite aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se:
então podemos calcular:
desde que as derivadas existam e o limite à direita exista ou seja infinito.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Numerador:
Denominador:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:

Passo 6

Vamos substituir na nova expressão:

Passo 7

Agora, temos:

Resposta

O limite quando se aproxima de é .

Exercícios relacionados

Uma xícara de café quente tem a temperatura de em uma sala mantida a . Depois de meia hora, o chocolate quente esfriou para . Quando o café terá esfriado para ?
Usando o Teorema de Green calcule: é a fronteira da região orientada no sentido anti-horário.
Usando o Teorema de Green calcule: é a curva circunferênca , percorrida no sentido horário.
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função