Calcule os seguintes limites usando L Hôpital, quando possível:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular o limite quando
se aproxima de
da expressão
. A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites, e vamos usar a Regra de L’Hôpital para resolver isso. A regra é útil quando temos uma forma indeterminada, como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na expressão para ver se obtemos uma forma indeterminada:
Como tanto o numerador quanto o denominador resultam em
, temos uma forma
, o que nos permite aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se:
então podemos calcular:
desde que as derivadas existam e o limite à direita exista ou seja infinito.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Numerador:
Denominador:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
Passo 6
Vamos substituir
na nova expressão:
Passo 7
Agora, temos:
Resposta
O limite quando
se aproxima de
é
.