Uma xícara de café quente tem a temperatura de 70 graus C em uma sala mantida a 25 graus C. Depois de meia hora, o chocolate quente esfriou para 50 graus C. Quando o café terá esfriado para 30 graus C ?

Passo 1

Então, a gente tem uma xícara de café quente que está a 70 graus C em uma sala que está mantida a 25 graus C. Depois de meia hora, o café esfriou para 50 graus C. A pergunta é: quanto tempo leva para o café esfriar até 30 graus C? Para resolver isso, vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda com o tempo em relação à temperatura ambiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei de Resfriamento de Newton:
Aqui:
  • T(t) é a temperatura do café no tempo t.
  • é a temperatura ambiente, que é 25 graus C.
  • é a temperatura inicial do café, que é 70 graus C.
  • k é a constante de resfriamento que precisamos descobrir.
  • e é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Sabemos que após meia hora ( horas), a temperatura do café caiu para 50 graus C. Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar k.
Simplificando:
Subtraindo 25 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 45:

Passo 4

Para resolver para k, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Calculando o logaritmo:
Dividindo ambos os lados por -0,5:
Arredondando, temos .

Passo 5

Agora que temos o valor de k, podemos usar novamente a fórmula da Lei de Resfriamento de Newton para encontrar o tempo necessário para o café esfriar até 30 graus C.
Simplificando:
Subtraindo 25 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 45:

Passo 6

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para t:
Calculando o logaritmo:
Dividindo ambos os lados por -1,02:

Resposta

O café esfriará para 30 graus C aproximadamente em 2,16 horas após o início do resfriamento.

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