Usando o Teorema de Green calcule: é a curva circunferênca , percorrida no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha:
onde é a circunferência percorrida no sentido horário. Vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva. Para isso, vamos precisar identificar as funções e na forma e calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e na nossa integral. Comparando com a forma padrão , temos:

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
Onde é a região interna à curva .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Usando a regra do quociente:
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Substituindo as derivadas parciais no Teorema de Green:
Parece que a integral dupla resulta em zero! Mas espera aí, temos que lembrar que o ponto está dentro da curva , e ali nossa função tem uma singularidade (o denominador se anula). Isso significa que o Teorema de Green clássico não se aplica diretamente, já que a função não é definida em todo o domínio .

Passo 6

Quando temos uma singularidade dentro da curva, precisamos considerar o que ocorre com a integral ao redor desse ponto. Neste caso, a integral se relaciona com a quantidade de vezes que a curva envolve o ponto .
A expressão da integral:
é semelhante à derivada de um ângulo, ou seja, está relacionada à variação do ângulo em torno do ponto . Basicamente, ela mede quantas voltas a curva faz ao redor desse ponto.
Como a curva é a circunferência , que tem raio 2, ela envolve o ponto . E como a curva é percorrida no sentido horário, a orientação é negativa.

Passo 7

A integral então é equivalente a vezes o número de voltas que a curva faz ao redor do ponto . Neste caso, a curva faz uma volta completa no sentido horário, então:

Resposta

A integral vale .

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