Usando o Teorema de Green calcule: integralC y d x-(x-1) d y(x-1)^2+y^2, C é a curva circunferênca x^2+y^2=4, percorrida no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha:
integralC y , dx - (x-1) , dy(x-1)^2+y^2
onde é a circunferência percorrida no sentido horário. Vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva. Para isso, vamos precisar identificar as funções e na forma e calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar P = y(x-1)^2 + y^2 e Q = -(x-1)(x-1)^2 + y^2 e na nossa integral. Comparando com a forma padrão , temos:

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
Onde é a região interna à curva .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, a derivada parcial de partial Qpartial x = partialpartial x ( -(x-1)(x-1)^2 + y^2 ) em relação a partial Qpartial x = -1 cdot [(x-1)^2 + y^2] - (-(x-1)) cdot 2(x-1)[(x-1)^2 + y^2]^2 = -[(x-1)^2 + y^2] + 2(x-1)^2 [(x-1)^2 + y^2]^2 = (x-1)^2 - y^2[(x-1)^2 + y^2]^2 :
partial Ppartial y = partialpartial y ( y(x-1)^2 + y^2 )
Usando a regra do quociente:
partial Ppartial y = 1 cdot [(x-1)^2 + y^2] - y cdot 2y[(x-1)^2 + y^2]^2 = (x-1)^2 + y^2 - 2y^2[(x-1)^2 + y^2]^2 = (x-1)^2 - y^2[(x-1)^2 + y^2]^2
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Substituindo as derivadas parciais no Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy = integral duplaD ( (x-1)^2 - y^2[(x-1)^2 + y^2]^2 - (x-1)^2 - y^2[(x-1)^2 + y^2]^2 ) , dx , dy = 0
Parece que a integral dupla resulta em zero! Mas espera aí, temos que lembrar que o ponto está dentro da curva , e ali nossa função tem uma singularidade (o denominador se anula). Isso significa que o Teorema de Green clássico não se aplica diretamente, já que a função não é definida em todo o domínio .

Passo 6

Quando temos uma singularidade dentro da curva, precisamos considerar o que ocorre com a integral ao redor desse ponto. Neste caso, a integral se relaciona com a quantidade de vezes que a curva y , dx - (x-1) , dy(x-1)^2 + y^2 envolve o ponto .
A expressão da integral:
é semelhante à derivada de um ângulo, ou seja, está relacionada à variação do ângulo em torno do ponto . Basicamente, ela mede quantas voltas a curva faz ao redor desse ponto.
Como a curva é a circunferência , que tem raio 2, ela envolve o ponto . E como a curva é percorrida no sentido horário, a orientação é negativa.

Passo 7

A integral então é equivalente a integralC y , dx - (x-1) , dy(x-1)^2+y^2 = -2pi vezes o número de voltas que a curva faz ao redor do ponto . Neste caso, a curva faz uma volta completa no sentido horário, então:

Resposta

A integral vale .

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