Usando o Teorema de Green calcule:
é a curva circunferênca
, percorrida no sentido horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha:
onde
é a circunferência
percorrida no sentido horário. Vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva. Para isso, vamos precisar identificar as funções
e
na forma
e calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
na nossa integral. Comparando com a forma padrão
, temos:
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que:
Onde
é a região interna à curva
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Substituindo as derivadas parciais no Teorema de Green:
Parece que a integral dupla resulta em zero! Mas espera aí, temos que lembrar que o ponto
está dentro da curva
, e ali nossa função tem uma singularidade (o denominador se anula). Isso significa que o Teorema de Green clássico não se aplica diretamente, já que a função não é definida em todo o domínio
.
Passo 6
Quando temos uma singularidade dentro da curva, precisamos considerar o que ocorre com a integral ao redor desse ponto. Neste caso, a integral se relaciona com a quantidade de vezes que a curva
envolve o ponto
.
A expressão da integral:
é semelhante à derivada de um ângulo, ou seja, está relacionada à variação do ângulo em torno do ponto
. Basicamente, ela mede quantas voltas a curva faz ao redor desse ponto.
Como a curva
é a circunferência
, que tem raio 2, ela envolve o ponto
. E como a curva é percorrida no sentido horário, a orientação é negativa.
Passo 7
A integral então é equivalente a
vezes o número de voltas que a curva faz ao redor do ponto
. Neste caso, a curva faz uma volta completa no sentido horário, então:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites usando L Hôpital, quando possível:
Uma xícara de café quente tem a temperatura de
em uma sala mantida a
. Depois de meia hora, o chocolate quente esfriou para
. Quando o café terá esfriado para
?
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
Pondo
, deduza que