Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos locais, assim como os pontos de sela, da função no intervalo onde . Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente encontrar derivadas parciais e aplicar o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Da primeira equação, temos duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso.

Passo 4

Caso 1:
Substituindo na segunda equação , temos:
Isso acontece quando , onde é um inteiro.
Dentro do intervalo , os valores de que satisfazem são aproximadamente:
Mas como , descartamos . Então, os pontos críticos neste caso são aproximadamente e , com .
Caso 2:
Isso ocorre quando , onde é um inteiro.
Dentro do intervalo , os valores de são:
Substituindo na equação :
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,
Então, os pontos críticos neste caso são , e .

Passo 5

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:
Vamos analisar cada ponto crítico:
  1. Pontos onde e
    • Para :
      Como , esse ponto é um ponto de sela.
    • Para :
      Também é um ponto de sela.
  2. Ponto
    Além disso, , então é um ponto de mínimo local.
  3. Ponto
    Aqui, , então é também um ponto de mínimo local.
  4. Ponto
    Mais uma vez, , então é um ponto de mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • Pontos de sela em e
  • Mínimos locais em , e

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Usando o Teorema de Green calcule: é a curva circunferênca , percorrida no sentido horário.
Calcule os seguintes limites usando L Hôpital, quando possível:
Pondo , deduza que
e a regra da cadeia para determinas as derivadas parciais indicadas
e , encontre
e encontre e .