Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos locais, assim como os pontos de sela, da função
no intervalo onde
. Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente encontrar derivadas parciais e aplicar o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Da primeira equação, temos duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso.
Passo 4
Caso 1:
Substituindo
na segunda equação
, temos:
Isso acontece quando
, onde
é um inteiro.
Dentro do intervalo
, os valores de
que satisfazem são aproximadamente:
Mas como
, descartamos
. Então, os pontos críticos neste caso são aproximadamente
e
, com
.
Caso 2:
Isso ocorre quando
, onde
é um inteiro.
Dentro do intervalo
, os valores de
são:
Substituindo na equação
:
- Para
, - Para
, - Para
,
Então, os pontos críticos neste caso são
,
e
.
Passo 5
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Vamos analisar cada ponto crítico:
-
Pontos onde
e -
Para
: Como, esse ponto é um ponto de sela. -
Para
: Também é um ponto de sela.
-
-
PontoAlém disso,
, então é um ponto de mínimo local. -
PontoAqui,
, então é também um ponto de mínimo local. -
PontoMais uma vez,
, então é um ponto de mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
- Pontos de sela em
e - Mínimos locais em
, e
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Usando o Teorema de Green calcule:
é a curva circunferênca
, percorrida no sentido horário.
Calcule os seguintes limites usando L Hôpital, quando possível:
Pondo
, deduza que
e a regra da cadeia para determinas as derivadas parciais indicadas
e
, encontre
e
encontre
e
.