Calcule os seguintes limites usando L Hôpital, quando possível:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de
quando
tende ao infinito. Isso cai no conteúdo de limites no cálculo, e vamos usar a Regra de L’Hôpital para resolver, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito quando
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que podemos usar a Regra de L’Hôpital. Quando temos uma forma do tipo
, que é o caso aqui, a regra é aplicável. A regra diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e recalcular o limite.
Passo 3
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, o novo limite fica:
Passo 4
Ainda temos uma forma
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital de novo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Agora, o limite é:
Passo 5
Continuamos vendo que é
, aplicamos L’Hôpital mais uma vez:
- Derivada de
continua sendo . - Derivada de
é .
O limite passa a ser:
Passo 6
Novamente, temos
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
O limite agora é:
Passo 7
Mais uma vez, estamos com
, aplicamos L’Hôpital pela última vez:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
O limite se torna:
Passo 8
Agora, o denominador é constante, e sabemos que
cresce sem limite quando
tende ao infinito. Portanto:
Resposta
O limite de
quando
tende ao infinito é
.