Calcule os seguintes limites usando L Hôpital, quando possível: lim x infty e^wed>= x / x^wed>= wed>= 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de e^xx^5 quando x tende ao infinito. Isso cai no conteúdo de limites no cálculo, e vamos usar a Regra de L’Hôpital para resolver, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito quando x cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que podemos usar a Regra de L’Hôpital. Quando temos uma forma do tipo inftyinfty, que é o caso aqui, a regra é aplicável. A regra diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e recalcular o limite.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de e^x em relação a x é e^x.
  • Derivada de x^5 em relação a x é 5x^4.
Então, o novo limite fica:
limx to infty e^x5x^4

Passo 4

Ainda temos uma forma inftyinfty, então aplicamos a Regra de L’Hôpital de novo:
  • Derivada de e^x é e^x.
  • Derivada de 5x^4 é 20x^3.
Agora, o limite é:
limx to infty e^x20x^3

Passo 5

Continuamos vendo que é inftyinfty, aplicamos L’Hôpital mais uma vez:
  • Derivada de e^x continua sendo e^x.
  • Derivada de 20x^3 é 60x^2.
O limite passa a ser:
limx to infty e^x60x^2

Passo 6

Novamente, temos inftyinfty, então aplicamos a Regra de L’Hôpital:
  • Derivada de e^x é e^x.
  • Derivada de 60x^2 é 120x.
O limite agora é:
limx to infty e^x120x

Passo 7

Mais uma vez, estamos com inftyinfty, aplicamos L’Hôpital pela última vez:
  • Derivada de e^x é e^x.
  • Derivada de 120x é 120.
O limite se torna:
limx to infty e^x120

Passo 8

Agora, o denominador é constante, e sabemos que e^x cresce sem limite quando x tende ao infinito. Portanto:
limx to infty e^x120 = infty

Resposta

O limite de e^xx^5 quando x tende ao infinito é +infty.

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