Considere a função f(x) = 10^x. Determine delta > 0 tal que
0 < |x - 1| < delta => |f(x) - 10| < 0,2

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar um valor positivo tal que, se estiver a menos de de 1 (ou seja, ), então estará a menos de 0,2 de 10 (ou seja, ). Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites e desigualdades exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir a condição para termos mais simples. Como , temos:
Isso significa que deve estar entre 9,8 e 10,2:

Passo 3

Agora, vamos resolver as duas desigualdades separadamente para encontrar os valores de :
Para a parte inferior:
Aplicando o logaritmo na base 10 dos dois lados:
Calculando:
Para a parte superior:
Aplicando o logaritmo na base 10 dos dois lados:
Calculando:

Passo 4

Agora, temos que está entre aproximadamente 0,991226 e 1,008600. Como queremos que esteja a menos de de 1, vamos calcular a distância mínima entre 1 e esses valores:

Resposta

Portanto, o valor de que satisfaz a condição é aproximadamente .

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