Calcule os seguintes limites usando Ld)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo, do que trata o assunto e o que vamos precisar para resolver isso. A questão nos pede para calcular o limite de uma função quando
tende ao infinito, especificamente:
Isso faz parte do estudo de limites em cálculo, onde analisamos o comportamento das funções à medida que a variável independente cresce sem limites. Para resolver esse tipo de limite, vamos utilizar a Regra de L’Hospital, que é útil quando temos uma indeterminação como
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de indeterminação que temos. Ao substituir
por infinito na fração
, tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito:
Então, temos uma indeterminação do tipo
, o que nos permite aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 3
A Regra de L’Hospital diz que se temos:
então podemos calcular:
desde que esse novo limite exista ou seja infinito.
Passo 4
Vamos aplicar a Regra de L’Hospital. Primeiro, derivamos o numerador e o denominador:
- Derivada de
: - Derivada de
:
Agora, nosso limite fica:
Passo 5
Vamos verificar novamente o tipo de indeterminação. Tanto
quanto
tendem ao infinito quando
tende ao infinito, então ainda temos
. Vamos aplicar a Regra de L’Hospital mais uma vez.
Passo 6
Derivamos novamente o numerador e o denominador:
- Derivada de
: - Derivada de
:
O limite agora é:
Passo 7
Repetimos o processo. Ambos o numerador e denominador ainda tendem ao infinito, então aplicamos a Regra de L’Hospital novamente.
Passo 8
Derivadas novamente:
- Derivada de
: - Derivada de
:
O novo limite:
Passo 9
Mais uma vez, vemos que tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito, então aplicamos a Regra de L’Hospital novamente.
Passo 10
Derivadas:
- Derivada de
: - Derivada de
:
O limite agora:
Passo 11
Continuamos o processo. Ambos o numerador e denominador tendem ao infinito, aplicando L’Hospital mais uma vez.
Passo 12
Derivadas:
- Derivada de
: - Derivada de
:
O limite passa a ser:
Passo 13
Agora, ao calcular o limite, temos:
Portanto, o limite é infinito.
Resposta
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;
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b) no intervalo
b)
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