Calcule os seguintes limites usando Ld) lim x infty e^xx^5

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo, do que trata o assunto e o que vamos precisar para resolver isso. A questão nos pede para calcular o limite de uma função quando lim x infty e^xx^5 tende ao infinito, especificamente:
Isso faz parte do estudo de limites em cálculo, onde analisamos o comportamento das funções à medida que a variável independente cresce sem limites. Para resolver esse tipo de limite, vamos utilizar a Regra de L’Hospital, que é útil quando temos uma indeterminação como .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de indeterminação que temos. Ao substituir lim x infty e^x = infty por infinito na fração lim x infty x^5 = infty , tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito:
Então, temos uma indeterminação do tipo , o que nos permite aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se temos:
limx to c f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty,
então podemos calcular:
limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x)
desde que esse novo limite exista ou seja infinito.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital. Primeiro, derivamos o numerador e o denominador:
  • Derivada de lim x infty e^x5x^4 :
  • Derivada de :
Agora, nosso limite fica:

Passo 5

Vamos verificar novamente o tipo de indeterminação. Tanto quanto tendem ao infinito quando tende ao infinito, então ainda temos . Vamos aplicar a Regra de L’Hospital mais uma vez.

Passo 6

Derivamos novamente o numerador e o denominador:
  • Derivada de lim x infty e^x20x^3 :
  • Derivada de :
O limite agora é:

Passo 7

Repetimos o processo. Ambos o numerador e denominador ainda tendem ao infinito, então aplicamos a Regra de L’Hospital novamente.

Passo 8

Derivadas novamente:
  • Derivada de lim x infty e^x60x^2 :
  • Derivada de :
O novo limite:

Passo 9

Mais uma vez, vemos que tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito, então aplicamos a Regra de L’Hospital novamente.

Passo 10

Derivadas:
  • Derivada de lim x infty e^x120x :
  • Derivada de :
O limite agora:

Passo 11

Continuamos o processo. Ambos o numerador e denominador tendem ao infinito, aplicando L’Hospital mais uma vez.

Passo 12

Derivadas:
  • Derivada de lim x infty e^x120 :
  • Derivada de :
O limite passa a ser:

Passo 13

Agora, ao calcular o limite, temos:
lim x infty e^x120 = infty
Portanto, o limite é infinito.

Resposta

lim x infty e^xx^5 = infty

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