Calcule os seguintes limites usando Lf)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Isso envolve o conteúdo de limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se substituindo na expressão, obtemos uma forma indeterminada. Sabemos que:
e
é
Então, temos a forma , que é uma indicação de que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se:
então podemos calcular:
onde e são as derivadas de e , respectivamente.

Passo 4

Vamos identificar e . Agora, vamos calcular as derivadas:
Lembrando que a derivada de é e, para , aplicamos a regra da cadeia, multiplicando pela derivada do argumento, que é 5.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:
Simplificando a expressão:

Passo 6

Sabemos que , então:
Portanto, o limite se torna:

Passo 7

Vamos analisar o comportamento de e quando se aproxima de :
Assim, temos novamente uma forma indeterminada . Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 8

Primeiro, calculamos as derivadas das funções no numerador e no denominador:
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:

Passo 9

Vamos simplificar a expressão:
Sabemos que:
Vamos analisar cada um separadamente.

Passo 10

Primeiro, para :
Sabemos que , e , e , novamente temos . Precisamos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 11

Calculamos as derivadas:
Aplicando a Regra de L’Hôpital:

Passo 12

Agora, vamos avaliar :
Sabemos que e , então:
Portanto:

Passo 13

Agora, vamos avaliar :
Já vimos que esse limite é 1. Então, voltando à expressão anterior:
E lembrando que multiplicamos por no início:

Resposta

O limite é igual a .

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