Calcule os seguintes limites usando Lf) lim x pi / 2 tg xtg 5 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Isso envolve o conteúdo de limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se substituindo tan(pi2) tende a infty na expressão, obtemos uma forma indeterminada. Sabemos que:
tan(5 cdot pi2) = tan(5pi2) também tende a infty
e
é
Então, temos a forma , que é uma indicação de que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se:
limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty
então podemos calcular:
limx to a f'(x)g'(x)
onde e são as derivadas de e , respectivamente.

Passo 4

Vamos identificar f'(x) = sec^2 x e g'(x) = 5 sec^2 5x . Agora, vamos calcular as derivadas:
Lembrando que a derivada de é e, para , aplicamos a regra da cadeia, multiplicando pela derivada do argumento, que é 5.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:
limx to pi2 tan xtan 5x = limx to pi2 sec^2 x5 sec^2 5x
Simplificando a expressão:
= 15 cdot limx to pi2 sec^2 xsec^2 5x

Passo 6

Sabemos que sec^2 xsec^2 5x = cos^2 5xcos^2 x , então:
15 cdot limx to pi2 cos^2 5xcos^2 x
Portanto, o limite se torna:

Passo 7

Vamos analisar o comportamento de cos(pi2) = 0 e cos(5 cdot pi2) = cos(5pi2) = 0 quando se aproxima de :
Assim, temos novamente uma forma indeterminada . Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 8

Primeiro, calculamos as derivadas das funções no numerador e no denominador:
ddx cos^2 5x = 2 cos 5x cdot (-sin 5x) cdot 5 = -10 cos 5x sin 5x
ddx cos^2 x = 2 cos x cdot (-sin x) = -2 cos x sin x
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
limx to pi2 cos^2 5xcos^2 x = limx to pi2 -10 cos 5x sin 5x-2 cos x sin x = 102 cdot limx to pi2 cos 5x sin 5xcos x sin x = 5 cdot limx to pi2 cos 5x sin 5xcos x sin x

Passo 9

Vamos simplificar a expressão:
cos 5x sin 5xcos x sin x = cos 5xcos x cdot sin 5xsin x
Sabemos que:
limx to pi2 cos 5xcos x e limx to pi2 sin 5xsin x
Vamos analisar cada um separadamente.

Passo 10

Primeiro, para :
Sabemos que , e , e , novamente temos . Precisamos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 11

Calculamos as derivadas:
ddx cos 5x = -5 sin 5x
ddx cos x = -sin x
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
limx to pi2 cos 5xcos x = limx to pi2 -5 sin 5x- sin x = 5 cdot limx to pi2 sin 5xsin x

Passo 12

Agora, vamos avaliar limx to pi2 sin 5xsin x = 11 = 1 :
Sabemos que limx to pi2 cos 5xcos x = 5 cdot 1 = 5 e , então:
Portanto:

Passo 13

Agora, vamos avaliar 5 cdot limx to pi2 cos 5x sin 5xcos x sin x = 5 cdot (5 cdot 1) = 25 :
Já vimos que esse limite é 1. Então, voltando à expressão anterior:
15 cdot 25 = 5
E lembrando que multiplicamos por no início:

Resposta

O limite é igual a .

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