Calcule os seguintes limites usando Lf)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando
se aproxima de
da expressão
. Isso envolve o conteúdo de limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se substituindo
na expressão, obtemos uma forma indeterminada. Sabemos que:
e
Então, temos a forma
, que é uma indicação de que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital nos diz que se:
então podemos calcular:
onde
e
são as derivadas de
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos identificar
e
. Agora, vamos calcular as derivadas:
Lembrando que a derivada de
é
e, para
, aplicamos a regra da cadeia, multiplicando pela derivada do argumento, que é 5.
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Sabemos que
, então:
Portanto, o limite se torna:
Passo 7
Vamos analisar o comportamento de
e
quando
se aproxima de
:
Assim, temos novamente uma forma indeterminada
. Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 8
Primeiro, calculamos as derivadas das funções no numerador e no denominador:
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
Passo 9
Vamos simplificar a expressão:
Sabemos que:
Vamos analisar cada um separadamente.
Passo 10
Primeiro, para
:
Sabemos que , e
, e
, novamente temos
. Precisamos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Sabemos que
Passo 11
Calculamos as derivadas:
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
Passo 12
Agora, vamos avaliar
:
Sabemos que e
, então:
Sabemos que
Portanto:
Passo 13
Agora, vamos avaliar
:
Já vimos que esse limite é 1. Então, voltando à expressão anterior:
Já vimos que esse limite é 1. Então, voltando à expressão anterior:
E lembrando que multiplicamos por
no início:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Encontre os valores máximos e mínimos globais de f (se existirem) no intervalo dado:
b) no intervalo
b)
Calcule os seguintes limites usando Ld)
Nos problemas abaixo, determine valores de modo que a função
seja uma solução da ED dada
d)
d)
Nos problemas abaixo, determine valores de modo que a função
seja uma solução da ED dada
b)
b)