Encontre os valores máximos e mínimos globais de f (se existirem) no intervalo dado:
b) no intervalo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores máximos e mínimos globais da função no intervalo de todos os números reais, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, pra identificar onde a função pode atingir seus extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Aqui, pode ser qualquer número real, já que garante que o que está dentro da raiz sempre será positivo. Isso significa que a função está definida para todo no intervalo .

Passo 3

Para encontrar os valores máximos e mínimos, vamos usar a derivada da função. A derivada nos ajuda a identificar pontos onde a função tem inclinação zero, ou seja, potenciais extremos. Vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero ou não existe. Resolver nos dará os pontos críticos:
Então, o único ponto crítico é . Vamos verificar se esse ponto é um mínimo ou máximo.

Passo 5

Analisando o comportamento da função:
  • Quando , .
  • À medida que aumenta ou diminui (para valores positivos ou negativos grandes), cresce, fazendo crescer também sem limites.
Isso indica que a função tem um mínimo em e não possui um máximo global, já que pode crescer indefinidamente.

Resposta

A função possui um mínimo global de no ponto . Não existe um valor máximo global, pois a função cresce para o infinito conforme se afasta de zero.

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