Encontre os valores máximos e mínimos globais de f (se existirem) no intervalo dado:
b)
no intervalo
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores máximos e mínimos globais da função
no intervalo de todos os números reais, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, pra identificar onde a função pode atingir seus extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Aqui,
pode ser qualquer número real, já que
garante que o que está dentro da raiz sempre será positivo. Isso significa que a função está definida para todo
no intervalo
.
Passo 3
Para encontrar os valores máximos e mínimos, vamos usar a derivada da função. A derivada nos ajuda a identificar pontos onde a função tem inclinação zero, ou seja, potenciais extremos. Vamos calcular a derivada de
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero ou não existe. Resolver
nos dará os pontos críticos:
Então, o único ponto crítico é
. Vamos verificar se esse ponto é um mínimo ou máximo.
Passo 5
Analisando o comportamento da função:
- Quando
, . - À medida que
aumenta ou diminui (para valores positivos ou negativos grandes), cresce, fazendo crescer também sem limites.
Isso indica que a função tem um mínimo em
e não possui um máximo global, já que pode crescer indefinidamente.
Resposta
A função
possui um mínimo global de
no ponto
. Não existe um valor máximo global, pois a função cresce para o infinito conforme
se afasta de zero.
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;
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seja uma solução da ED dada
d)
d)