Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível: (h) lim x 0 ln (1+a x)x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite . Esse tipo de problema envolve limites notáveis, especificamente o limite que envolve o logaritmo natural. Para resolver, vamos precisar usar a propriedade de que .

Passo 2

Vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos chamar . Assim, quando tende a 0, também tende a 0.

Passo 3

Agora, vamos reescrever o limite em termos de limx to 0 ln(1+a x)x = limu to 0 ln(1+u)u/a = a limu to 0 ln(1+u)u :

Passo 4

Sabemos que , que é um limite notável.

Resposta

Portanto, o limite é igual a .

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