Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível: (m) lim x 1 ln (2-x)x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está na área de Cálculo de Limites, e vamos precisar entender como lidar com formas indeterminadas usando técnicas como a Regra de L’Hôpital. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando se aproxima de 1:
  • No numerador:
  • No denominador:
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital para resolver esse limite.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x) resulta em ou , então podemos calcular o limite das derivadas:

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada do numerador: f'(x) = ddx ln(2 - x) = -12 - x
g'(x) = ddx (x - 1) = 1
  • Derivada do denominador:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
limx 1 ln (2-x)x-1 = limx 1 f'(x)g'(x) = limx 1 -12 - x

Passo 6

Vamos substituir limx 1 -12 - x = -12 - 1 = -11 = -1 por 1 na expressão resultante:

Resposta

O limite é .

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