Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível: (j) lim x 3 ln x-ln 3x-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 3 na expressão . Aqui, estamos lidando com limites na matemática, especificamente com funções logarítmicas. Vamos precisar usar os limites notáveis e, possivelmente, a regra de derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a função logarítmica natural. Quando olhamos para a expressão , ela se parece muito com a definição da derivada da função no ponto .

Passo 3

A derivada de uma função f'(a) = limx to a f(x) - f(a)x - a no ponto f(x) = ln x e a = 3 é definida como:
Comparando isso com a nossa expressão, podemos ver que:
Então, estamos basicamente calculando a derivada de em .

Passo 4

Sabemos que a derivada de f'(x) = 1x é f'(3) = 13 . Isso é uma regra básica de derivadas para funções logarítmicas. Portanto:
Então, para :

Resposta

O limite é igual a .

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