Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível: (h) lim x infty(x^2+1x^2-3)^x^2.

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse problema envolve limites de funções exponenciais quando tende ao infinito. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e limites notáveis, como o limite que define a base do logaritmo natural, .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de segundo grau em x^2 + 1x^2 - 3 = x^2(1 + 1x^2)x^2(1 - 3x^2) = 1 + 1x^21 - 3x^2 . Quando é muito grande, os termos de dominam, então podemos reescrever a fração:

Passo 3

Agora, consideramos que quando 1 + 01 - 0 = 11 = 1 , . Portanto, a expressão dentro do limite se aproxima de:
Isso significa que estamos lidando com uma expressão da forma , que é indeterminada. Para resolver isso, vamos usar logaritmos.

Passo 4

Vamos chamar o limite original de L = limx to infty (x^2 + 1x^2 - 3)^x^2 :
ln L = limx to infty x^2 cdot ln(x^2 + 1x^2 - 3)
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 5

Simplificamos o logaritmo:
ln(x^2 + 1x^2 - 3) = ln(1 + 4x^2 - 3)
Para ln(1 + 4x^2) approx 4x^2 grande, isso se aproxima de:
Isso utiliza a aproximação quando é pequeno.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de ln L approx limx to infty x^2 cdot 4x^2 = limx to infty 4 = 4 :

Passo 7

Agora, encontramos que L = e^4 . Para achar , aplicamos a função exponencial em ambos os lados:

Resposta

limx infty(x^2+1x^2-3)^x^2 = e^4

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