Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível: (h)
.
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse problema envolve limites de funções exponenciais quando
tende ao infinito. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e limites notáveis, como o limite que define a base do logaritmo natural,
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de segundo grau em
. Quando
é muito grande, os termos de
dominam, então podemos reescrever a fração:
Passo 3
Agora, consideramos que quando
,
. Portanto, a expressão dentro do limite se aproxima de:
Isso significa que estamos lidando com uma expressão da forma
, que é indeterminada. Para resolver isso, vamos usar logaritmos.
Passo 4
Vamos chamar o limite original de
:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 5
Simplificamos o logaritmo:
Para
grande, isso se aproxima de:
Isso utiliza a aproximação
quando
é pequeno.
Passo 6
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 7
Agora, encontramos que
. Para achar
, aplicamos a função exponencial em ambos os lados: