Sejam e . (b) Estude a continuidade da função , sabendo que Caso a função h não seja contínua em todos os pontos, classifique a(s) descontinuidade(s).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções dadas:
A função é definida de três formas diferentes dependendo do valor de :
se está no domínio de (ou seja, ).
.
se é diferente de 0 e não está no domínio de (ou seja, ).
Nosso objetivo é estudar a continuidade de em todos os pontos e, se houver descontinuidades, classificá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio de 2x - 1 + |1 - x| > 0 , ou seja, para quais valores de a expressão dentro do logaritmo está definida. O logaritmo natural está definido quando .
Então, precisamos que:
Vamos analisar essa expressão para diferentes valores de .
Passo 3
Vamos dividir em dois casos, dependendo do valor de 2x - 1 + (x - 1) = 3x - 2 > 0 :
Caso 1: 3x - 2 > 0 implies x > 23
Aqui, 2x - 1 + (1 - x) = x - 0 = x > 0 .
Então, a expressão fica:
x > 0
Como já satisfaz , todo está no domínio de .
Caso 2:
Aqui, .
Então, a expressão fica:
Portanto, para , precisamos que .
Passo 4
Resumindo o domínio de :
Para , está no domínio.
Para , também está no domínio.
Para , não está no domínio porque a expressão dentro do logaritmo não é positiva.
Então, o domínio de é .
Passo 5
Agora que sabemos o domínio de , vamos analisar a continuidade de nos diferentes casos.
Quando (ou seja, ):
.
Tanto quanto são funções contínuas em seus domínios.
Portanto, é contínua para .
Quando :
.
Precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de 0 é igual a 0.
Quando (ou seja, , já que ):
.
Vamos verificar a continuidade dessa expressão para .
Passo 6
Analisando o ponto :
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela direita () e pela esquerda ().
Limite pela direita ():
Para ,
Então,
Logo,
Limite pela esquerda ():
Sabemos que
Então,
Como ambos os limites laterais são iguais a 0 e , a função é contínua em .
Passo 7
Analisando para :
Para , temos .
A função é contínua para .
Subtraindo 2, a função continua contínua para .
Analisando para :
Para , .
Como vimos anteriormente, é contínua para .
Passo 8
Conclusão: A função é contínua em todos os pontos do seu domínio, incluindo .
Resposta
A função é contínua em todos os pontos do seu domínio e não apresenta descontinuidades.