Sejam f(x)=raiz[3]ln (2 x-1+|1-x|) e g(x)=e^x^3. (b) Estude a continuidade da função h(x), sabendo que h(x)=lg(f(x)) , se x in D f 0, se x=0 sin (2 x)x-2, se x in R^*-D f Caso a função h não seja contínua em todos os pontos, classifique a(s) descontinuidade(s).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções dadas:
A função é definida de três formas diferentes dependendo do valor de :
  1. se está no domínio de (ou seja, ).
  2. .
  3. se é diferente de 0 e não está no domínio de (ou seja, ).
Nosso objetivo é estudar a continuidade de em todos os pontos e, se houver descontinuidades, classificá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio de 2x - 1 + |1 - x| > 0 , ou seja, para quais valores de a expressão dentro do logaritmo está definida. O logaritmo natural está definido quando .
Então, precisamos que:
Vamos analisar essa expressão para diferentes valores de .

Passo 3

Vamos dividir em dois casos, dependendo do valor de 2x - 1 + (x - 1) = 3x - 2 > 0 :
Caso 1: 3x - 2 > 0 implies x > 23
  • Aqui, 2x - 1 + (1 - x) = x - 0 = x > 0 .
  • Então, a expressão fica:
x > 0
Como já satisfaz , todo está no domínio de .
Caso 2:
  • Aqui, .
  • Então, a expressão fica:
Portanto, para , precisamos que .

Passo 4

Resumindo o domínio de :
  • Para , está no domínio.
  • Para , também está no domínio.
  • Para , não está no domínio porque a expressão dentro do logaritmo não é positiva.
Então, o domínio de é .

Passo 5

Agora que sabemos o domínio de , vamos analisar a continuidade de nos diferentes casos.
  1. Quando (ou seja, ):
    • .
    • Tanto quanto são funções contínuas em seus domínios.
    • Portanto, é contínua para .
  2. Quando :
    • .
    • Precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de 0 é igual a 0.
  3. Quando (ou seja, , já que ):
    • .
    • Vamos verificar a continuidade dessa expressão para .

Passo 6

Analisando o ponto :
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela direita ( ) e pela esquerda ( ).
  • Limite pela direita ( ):
    • Para ,
    • Então,
    • Logo,
  • Limite pela esquerda ( ):
    • Sabemos que
    • Então,
Como ambos os limites laterais são iguais a 0 e , a função é contínua em .

Passo 7

Analisando para :
Para , temos .
  • A função é contínua para .
  • Subtraindo 2, a função continua contínua para .
Analisando para :
Para , .
  • Como vimos anteriormente, é contínua para .

Passo 8

Conclusão: A função é contínua em todos os pontos do seu domínio, incluindo .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do seu domínio e não apresenta descontinuidades.

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