Determine as antiderivadas das funções abaixo: f(x) = 1 / (x + 2)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todas as antiderivadas da função . Isso significa que vamos integrar essa função. Para isso, vamos precisar usar a regra de potência da integração, que é uma ferramenta fundamental no cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da regra de potência. Podemos expressar como .

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra de potência para integrais. A regra diz que:
onde e é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa função, identificamos que e . Substituindo esses valores na regra, temos:

Passo 5

Vamos simplificar os expoentes e os coeficientes:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Podemos reescrever isso de uma forma mais amigável, trazendo o negativo para a frente:
E, finalmente, expressando de volta como uma fração:

Resposta

A antiderivada de é:

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