O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que y, medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante t. Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores r = 0,71 /ano e K = 80,5 * 10^6 Kg.
(f) Encontre o instante T no qual a biomassa atinge y(T) = 0,85 K

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o modelo logístico, que é usado para descrever o crescimento de populações, levando em conta fatores como recursos limitados. A gente tem uma população de linguados gigantes no Oceano Pacífico, onde y(t) representa a biomassa total em quilogramas em um certo tempo t. Os parâmetros do modelo são:
  • /ano: é a taxa de crescimento da população.
  • Kg: é a capacidade de suporte do ambiente, ou seja, o valor máximo que a biomassa pode alcançar.
Nossa missão aqui é encontrar o instante T em que a biomassa atinge .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do modelo logístico:
Onde:
  • K é a capacidade de suporte.
  • r é a taxa de crescimento.
  • C é uma constante que depende da condição inicial da população.
  • t é o tempo.
Nosso objetivo é encontrar T tal que . Vamos substituir esses valores na equação:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação. Primeiro, dividimos ambos os lados por K:
Para eliminar a fração, podemos inverter ambos os lados:
Calculando :
Subtraindo 1 de ambos os lados:

Passo 4

Agora, queremos isolar T. Primeiro, vamos dividir ambos os lados por C:
Para resolver para T, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Finalmente, isolando T:

Passo 5

Para encontrar um valor numérico para T, precisamos conhecer o valor da constante C, que depende da condição inicial da biomassa y(0). Sem essa informação, não podemos calcular um valor exato para T. No entanto, se C for conhecido, basta substituir na equação acima e calcular T.

Resposta

A equação para encontrar o instante T em que a biomassa atinge é:
Para obter o valor numérico de T, é necessário conhecer a constante C, que depende da biomassa inicial da população de linguados gigantes.

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