O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que , medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante . Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores /ano e .
(f) Encontre o instante no qual a biomassa atinge

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o modelo logístico, que é usado para descrever o crescimento de populações, levando em conta fatores como recursos limitados. A gente tem uma população de linguados gigantes no Oceano Pacífico, onde representa a biomassa total em quilogramas em um certo tempo . Os parâmetros do modelo são:
  • /ano: é a taxa de crescimento da população.
  • Kg: é a capacidade de suporte do ambiente, ou seja, o valor máximo que a biomassa pode alcançar.
Nossa missão aqui é encontrar o instante em que a biomassa atinge .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do modelo logístico:
Onde:
  • é a capacidade de suporte.
  • é a taxa de crescimento.
  • é uma constante que depende da condição inicial da população.
  • é o tempo.
Nosso objetivo é encontrar tal que . Vamos substituir esses valores na equação:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação. Primeiro, dividimos ambos os lados por :
Para eliminar a fração, podemos inverter ambos os lados:
Calculando :
Subtraindo 1 de ambos os lados:

Passo 4

Agora, queremos isolar . Primeiro, vamos dividir ambos os lados por :
Para resolver para , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Finalmente, isolando :

Passo 5

Para encontrar um valor numérico para , precisamos conhecer o valor da constante , que depende da condição inicial da biomassa . Sem essa informação, não podemos calcular um valor exato para . No entanto, se for conhecido, basta substituir na equação acima e calcular .

Resposta

A equação para encontrar o instante em que a biomassa atinge é:
Para obter o valor numérico de , é necessário conhecer a constante , que depende da biomassa inicial da população de linguados gigantes.

Exercícios relacionados

Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que , medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante . Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores /ano e .
(d) Mesmo sem resolver a equação, o que você pode afirmar sobre o comportamento da biomassa de linguados, sabendo que a biomassa inicial é ? (Verifique se esta biomassa é sempre crescente, decrescente ou oscila, verifique se esta tende a crescer indefinidamente ao passar do tempo ou não)
Use a Integração por partes para: *a) calcular