O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que
, medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante
. Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores
/ano e
.
(f) Encontre o instante
no qual a biomassa atinge
(f) Encontre o instante
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o modelo logístico, que é usado para descrever o crescimento de populações, levando em conta fatores como recursos limitados. A gente tem uma população de linguados gigantes no Oceano Pacífico, onde
representa a biomassa total em quilogramas em um certo tempo
. Os parâmetros do modelo são:
-
/ano: é a taxa de crescimento da população. -
Kg: é a capacidade de suporte do ambiente, ou seja, o valor máximo que a biomassa pode alcançar.
Nossa missão aqui é encontrar o instante
em que a biomassa
atinge
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do modelo logístico:
Onde:
-
é a capacidade de suporte. -
é a taxa de crescimento. -
é uma constante que depende da condição inicial da população. -
é o tempo.
Nosso objetivo é encontrar
tal que
. Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação. Primeiro, dividimos ambos os lados por
:
Para eliminar a fração, podemos inverter ambos os lados:
Calculando
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 4
Agora, queremos isolar
. Primeiro, vamos dividir ambos os lados por
:
Para resolver para
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Finalmente, isolando
:
Passo 5
Para encontrar um valor numérico para
, precisamos conhecer o valor da constante
, que depende da condição inicial da biomassa
. Sem essa informação, não podemos calcular um valor exato para
. No entanto, se
for conhecido, basta substituir na equação acima e calcular
.
Resposta
A equação para encontrar o instante
em que a biomassa atinge
é:
Para obter o valor numérico de
, é necessário conhecer a constante
, que depende da biomassa inicial da população de linguados gigantes.
Exercícios relacionados
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que
, medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante
. Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores
/ano e
.
(d) Mesmo sem resolver a equação, o que você pode afirmar sobre o comportamento da biomassa de linguados, sabendo que a biomassa inicial é
? (Verifique se esta biomassa é sempre crescente, decrescente ou oscila, verifique se esta tende a crescer indefinidamente ao passar do tempo ou não)
(d) Mesmo sem resolver a equação, o que você pode afirmar sobre o comportamento da biomassa
Use a Integração por partes para: *a) calcular