Calcule os seguintes limites (usando as regras de L lim x 0^+ x^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está na área de Cálculo de Limites, e para resolver vamos precisar usar algumas regras de limites e propriedades das funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão x^x = e^x ln x de uma forma que seja mais fácil de trabalhar. Sabemos que qualquer número elevado a uma potência pode ser escrito usando a função exponencial e o logaritmo natural. Então, podemos reescrever como:
Isso nos ajuda a transformar a potência em uma expressão que envolve o logaritmo natural e a função exponencial, facilitando a aplicação de regras de limites.

Passo 3

Agora, nosso objetivo é calcular o limite de limx 0^+ e^x ln x = e^limx 0^+ x ln x quando se aproxima de 0 pelo lado positivo. Sabemos que a função exponencial é contínua, então podemos trazer o limite para o expoente:
Então, precisamos descobrir qual é o limite de quando tende a 0.

Passo 4

Vamos analisar o limite limx 0^+ x ln x = limx 0^+ ln x1/x . Quando se aproxima de 0, tende a e tende a 0. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo , que podemos reescrever como:
Agora, temos uma fração onde o numerador tende a e o denominador tende a , formando uma indeterminação do tipo .

Passo 5

Para resolver essa indeterminação, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente. Vamos derivar:
  • Derivada do numerador limx 0^+ 1x-1x^2 = limx 0^+ -x = 0 em relação a :
  • Derivada do denominador em relação a :
Então, o limite fica:
Portanto, .

Passo 6

Voltando ao limite original, temos:
limx 0^+ x^x = e^limx 0^+ x ln x = e^0 = 1
Então, o limite é igual a 1.

Resposta

O limite é igual a 1.

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