Calcule os seguintes limites (usando as regras de L
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está na área de Cálculo de Limites, e para resolver vamos precisar usar algumas regras de limites e propriedades das funções exponenciais e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão
de uma forma que seja mais fácil de trabalhar. Sabemos que qualquer número elevado a uma potência pode ser escrito usando a função exponencial e o logaritmo natural. Então, podemos reescrever
como:
Isso nos ajuda a transformar a potência em uma expressão que envolve o logaritmo natural e a função exponencial, facilitando a aplicação de regras de limites.
Passo 3
Agora, nosso objetivo é calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo. Sabemos que a função exponencial é contínua, então podemos trazer o limite para o expoente:
Então, precisamos descobrir qual é o limite de
quando
tende a 0.
Passo 4
Vamos analisar o limite
. Quando
se aproxima de 0,
tende a
e
tende a 0. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo
, que podemos reescrever como:
Agora, temos uma fração onde o numerador tende a
e o denominador tende a
, formando uma indeterminação do tipo
.
Passo 5
Para resolver essa indeterminação, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente. Vamos derivar:
- Derivada do numerador
em relação a : - Derivada do denominador
em relação a :
Então, o limite fica:
Portanto,
.
Passo 6
Voltando ao limite original, temos:
Então, o limite
é igual a 1.
Resposta
O limite
é igual a 1.
Exercícios relacionados
Determine
e
Esboce os gráficos das funções abaixo.
Calcule os seguintes limites (usando as regras de L
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções