Esboce os gráficos das funções abaixo.

Passo 1

Então, a gente tem que esboçar o gráfico da função . Isso envolve entender um pouco sobre funções exponenciais e como elas se comportam quando a gente combina elas dessa forma. Vamos precisar usar noções de derivadas para achar pontos importantes como máximos e mínimos, além de analisar os limites para entender o comportamento do gráfico nas extremidades.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o domínio da função. Como as funções exponenciais estão definidas para todo número real, o domínio de é , ou seja, todos os números reais.

Passo 3

Vamos encontrar as intersecções com os eixos. Para isso:
  • Interseção com o eixo y: É quando .
    Então, o gráfico passa pela origem .
  • Interseção com o eixo x: São os valores de que satisfazem .
    Como nunca é zero, podemos dividir os dois lados por :
    Então, só temos a interseção na origem.

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da função quando tende para e .
  • Quando :
  • Quando :
    Ambas as funções e tendem a zero, mas decresce mais lentamente que , então

Passo 5

Vamos derivar a função para encontrar os pontos críticos onde a inclinação é zero, ou seja, máximos e mínimos.
Igualando a derivada a zero:
Dividindo por :
Então, temos um ponto crítico em .
Vamos verificar se é um máximo ou mínimo analisando a segunda derivada.
Avaliar em :
Como a segunda derivada é negativa, esse ponto é um máximo.

Passo 6

Vamos calcular o valor de no ponto crítico para saber as coordenadas do máximo.
Então, o ponto de máximo é .

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Passa pela origem .
  • Tem um ponto de máximo em .
  • Quando , .
  • Quando , .

Resposta

O gráfico da função apresenta um ponto de máximo em , passa pela origem, tende a zero quando vai para menos infinito e tende a menos infinito quando vai para mais infinito.

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Esboce os gráficos das funções abaixo.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções
Determine e
Calcule os seguintes limites (usando as regras de L