Esboce os gráficos das funções abaixo.
Passo 1
Então, a gente tem que esboçar o gráfico da função
. Isso envolve entender um pouco sobre funções exponenciais e como elas se comportam quando a gente combina elas dessa forma. Vamos precisar usar noções de derivadas para achar pontos importantes como máximos e mínimos, além de analisar os limites para entender o comportamento do gráfico nas extremidades.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o domínio da função. Como as funções exponenciais estão definidas para todo número real, o domínio de
é
, ou seja, todos os números reais.
Passo 3
Vamos encontrar as intersecções com os eixos. Para isso:
-
Interseção com o eixo y: É quando
. Então, o gráfico passa pela origem. -
Interseção com o eixo x: São os valores de
que satisfazem . Comonunca é zero, podemos dividir os dois lados por : Então, só temos a interseção na origem.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento da função quando
tende para
e
.
-
Quando
: -
Quando
:
Ambas as funçõese tendem a zero, mas decresce mais lentamente que , então
Passo 5
Vamos derivar a função para encontrar os pontos críticos onde a inclinação é zero, ou seja, máximos e mínimos.
Igualando a derivada a zero:
Dividindo por
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Vamos verificar se é um máximo ou mínimo analisando a segunda derivada.
Avaliar em
:
Como a segunda derivada é negativa, esse ponto é um máximo.
Passo 6
Vamos calcular o valor de
no ponto crítico para saber as coordenadas do máximo.
Então, o ponto de máximo é
.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Passa pela origem
. - Tem um ponto de máximo em
. - Quando
, . - Quando
, .
Resposta
O gráfico da função
apresenta um ponto de máximo em
, passa pela origem, tende a zero quando
vai para menos infinito e tende a menos infinito quando
vai para mais infinito.
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Determine
e
Calcule os seguintes limites (usando as regras de L