Calcule os seguintes limites (usando as regras de L

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite usando as regras de L’Hôpital. Isso envolve conceitos de cálculo de limites e, especificamente, a aplicação da regra de L’Hôpital para resolver formas indeterminadas. Vamos precisar entender quando e como aplicar essa regra para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função conforme se aproxima de 1 pela esquerda ( ).
  • Numerador:
    À medida que , , então . Isso faz com que , e, portanto, .
  • Denominador:
    Conforme , .
Então, o limite se torna , que é uma forma indeterminada do tipo . Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites indeterminados tomando as derivadas do numerador e do denominador.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital:
Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:
Então, o limite fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar novamente o comportamento dessa nova expressão conforme .
  • Numerador:
    Como vimos antes, e , então o numerador tende a .
  • Denominador:
    Conforme , , então .
Novamente, temos uma forma indeterminada , então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital novamente:
Vamos derivar novamente:
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:
Então, o limite fica:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Agora, analisando o comportamento conforme :
  • O termo tende a .
  • O restante da expressão permanece finito ou tende a algum valor.
Portanto, o numerador tende a e o denominador tende a , resultando novamente em uma forma indeterminada. No entanto, já aplicamos a Regra de L’Hôpital duas vezes e ainda obtemos uma expressão complexa que tende a zero devido ao termo exponencial que domina.

Passo 7

Considerando que o termo tende a muito rapidamente conforme , ele faz com que todo o limite tender a , mesmo que o denominador também esteja tendendo a .

Resposta

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