Calcule os seguintes limites (usando as regras de L
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite
usando as regras de L’Hôpital. Isso envolve conceitos de cálculo de limites e, especificamente, a aplicação da regra de L’Hôpital para resolver formas indeterminadas. Vamos precisar entender quando e como aplicar essa regra para encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função conforme
se aproxima de 1 pela esquerda (
).
-
Numerador:À medida que
, , então . Isso faz com que , e, portanto, . -
Denominador:Conforme
, .
Então, o limite se torna
, que é uma forma indeterminada do tipo
. Nesse caso, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites indeterminados tomando as derivadas do numerador e do denominador.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital:
Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Então, o limite fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar novamente o comportamento dessa nova expressão conforme
.
-
Numerador:Como vimos antes,
e , então o numerador tende a . -
Denominador:Conforme
, , então .
Novamente, temos uma forma indeterminada
, então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital novamente:
Vamos derivar novamente:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Então, o limite fica:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Agora, analisando o comportamento conforme
:
- O termo
tende a . - O restante da expressão permanece finito ou tende a algum valor.
Portanto, o numerador tende a
e o denominador tende a
, resultando novamente em uma forma indeterminada. No entanto, já aplicamos a Regra de L’Hôpital duas vezes e ainda obtemos uma expressão complexa que tende a zero devido ao termo exponencial que domina.
Passo 7
Considerando que o termo
tende a
muito rapidamente conforme
, ele faz com que todo o limite tender a
, mesmo que o denominador também esteja tendendo a
.
Resposta
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