Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos estudar a função
focando na concavidade e nos pontos de inflexão. Isso envolve entender como a curva dessa função se curva para cima ou para baixo e identificar onde essa curvatura muda. Para isso, vamos precisar usar derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto. Usamos a regra do produto porque temos o produto de duas funções:
e
.
A regra do produto diz que se temos
, a derivada é
.
Aplicando isso:
Sabemos que
e
, então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada,
. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função. Se
for positiva, a função é côncava para cima; se for negativa, é côncava para baixo.
Começamos derivando
:
Passo 4
Vamos analisar a concavidade com base em
:
- Quando
, : a função é côncava para cima. - Quando
, : a função é côncava para baixo.
No entanto, como
está definido apenas para
, nossa análise se restringe a
, onde a função é côncava para cima.
Passo 5
Para encontrar pontos de inflexão, procuramos valores de
onde a concavidade muda, ou seja, onde
ou não está definida.
A segunda derivada nunca é zero, mas é indefinida quando
. Entretanto,
não está no domínio da função original
, pois
não está definido. Portanto, não há pontos de inflexão na função.
Resposta
A função
é côncava para cima em todo o seu domínio (
) e não possui pontos de inflexão.
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, prove que
.