Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos estudar a função focando na concavidade e nos pontos de inflexão. Isso envolve entender como a curva dessa função se curva para cima ou para baixo e identificar onde essa curvatura muda. Para isso, vamos precisar usar derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto. Usamos a regra do produto porque temos o produto de duas funções: e .
A regra do produto diz que se temos , a derivada é .
Aplicando isso:
Sabemos que e , então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, . A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função. Se for positiva, a função é côncava para cima; se for negativa, é côncava para baixo.
Começamos derivando :

Passo 4

Vamos analisar a concavidade com base em :
  • Quando , : a função é côncava para cima.
  • Quando , : a função é côncava para baixo.
No entanto, como está definido apenas para , nossa análise se restringe a , onde a função é côncava para cima.

Passo 5

Para encontrar pontos de inflexão, procuramos valores de onde a concavidade muda, ou seja, onde ou não está definida.
A segunda derivada nunca é zero, mas é indefinida quando . Entretanto, não está no domínio da função original , pois não está definido. Portanto, não há pontos de inflexão na função.

Resposta

A função é côncava para cima em todo o seu domínio ( ) e não possui pontos de inflexão.

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