Calcule os seguintes limites (usando as regras de L lim x +infty(1ln x)^x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando vai para mais infinito de . Estamos lidando com limites em funções exponenciais e vamos usar a Regra de L’Hôpital para ajudar nessa resolução. Para isso, vamos precisar entender como transformar expressões exponenciais em formas que facilitem a aplicação dessa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão (1ln x)^x+1 = e^(x+1) ln(1ln x) de uma maneira que facilite o cálculo do limite. Sabemos que , então podemos transformar nossa expressão assim:

Passo 3

Simplificando o expoente, temos:
(x+1) ln(1ln x) = (x+1) cdot (-ln ln x) = -(x+1) ln ln x
Agora, nossa expressão fica:
e^-(x+1) ln ln x

Passo 4

Para encontrar o limite de limx to +infty -(x+1) ln ln x quando tende ao infinito, precisamos primeiro encontrar o limite do expoente . Ou seja, vamos calcular:

Passo 5

Vamos focar no limite de limx to +infty (x+1) ln ln x = +infty . Conforme cresce, também cresce, embora mais lentamente. E cresce ainda mais devagar, mas multiplicado por , que cresce sem limites. Portanto, o produto tende ao infinito.

Passo 6

Voltando ao nosso expoente, temos limx to +infty -(x+1) ln ln x = -infty , que tende a porque multiplicamos o infinito positivo por -1.

Passo 7

Agora, aplicamos esse resultado na nossa expressão original:
limx to +infty e^-(x+1) ln ln x = e^-infty = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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