Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estudar a função para encontrar seus máximos e mínimos locais e globais. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas da matéria de Cálculo, que nos ajudam a entender como a função se comporta em diferentes pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A função pode ser reescrita como:
Agora, para encontrar onde a função tem máximos ou mínimos, precisamos calcular sua derivada.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a . Usamos a regra da cadeia aqui. Se temos , então .
Aplicando isso:
Simplificando:

Passo 4

Agora, encontramos os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe. Vamos resolver :
Isso ocorre quando o numerador é zero:
Então, os pontos críticos são:

Passo 5

Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, vamos analisar o sinal da derivada ao redor deles ou usar a segunda derivada. Vamos usar a segunda derivada aqui.
Primeiro, calculamos a segunda derivada . Entretanto, a expressão pode ficar complicada, então uma abordagem mais simples é observar o comportamento da função em torno dos pontos críticos.
  • Para :
    • Quando se aproxima de 0 pela direita, é negativa.
    • Quando se afasta de 0 pela direita, continua negativa.
    • Portanto, não é um ponto de máximo ou mínimo local.
  • Para :
    • Quando é ligeiramente menor que , é positivo.
    • Quando é ligeiramente maior que , é negativo.
    • Isso indica que é um ponto de máximo local.

Resposta

A função tem um máximo local em . Não apresenta mínimos locais ou máximos globais.

Exercícios relacionados

Esboce os gráficos das funções abaixo.
Calcule os seguintes limites (usando as regras de L
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções
Esboce os gráficos das funções abaixo.