Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estudar a função
para encontrar seus máximos e mínimos locais e globais. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas da matéria de Cálculo, que nos ajudam a entender como a função se comporta em diferentes pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A função
pode ser reescrita como:
Agora, para encontrar onde a função tem máximos ou mínimos, precisamos calcular sua derivada.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Usamos a regra da cadeia aqui. Se temos
, então
.
Aplicando isso:
Simplificando:
Passo 4
Agora, encontramos os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe. Vamos resolver
:
Isso ocorre quando o numerador é zero:
Então, os pontos críticos são:
Passo 5
Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, vamos analisar o sinal da derivada ao redor deles ou usar a segunda derivada. Vamos usar a segunda derivada aqui.
Primeiro, calculamos a segunda derivada
. Entretanto, a expressão pode ficar complicada, então uma abordagem mais simples é observar o comportamento da função em torno dos pontos críticos.
-
Para
: - Quando
se aproxima de 0 pela direita, é negativa. - Quando
se afasta de 0 pela direita, continua negativa. - Portanto,
não é um ponto de máximo ou mínimo local.
- Quando
-
Para
: - Quando
é ligeiramente menor que , é positivo. - Quando
é ligeiramente maior que , é negativo. - Isso indica que
é um ponto de máximo local.
- Quando
Resposta
A função
tem um máximo local em
. Não apresenta mínimos locais ou máximos globais.
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