Esboce os gráficos das funções abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A função que você precisa esboçar é uma função racional, que tem a forma de um polinômio dividido por outro polinômio. No caso, temos:
Para esboçar o gráfico dessa função, vamos precisar identificar alguns pontos importantes como o domínio, as interceptações com os eixos, e os tipos de assíntotas (verticais e horizontais ou oblíquas).

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma divisão, o denominador não pode ser zero. Então, vamos encontrar os valores de que fazem o denominador ser zero:
Resolvendo essa equação quadrática:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, o domínio da função é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais acontecem nos valores de que tornam o denominador zero, já que nesses pontos a função tende ao infinito. Dos valores que encontramos no Passo 2:
Então, temos duas assíntotas verticais:

Passo 4

Vamos determinar a assíntota horizontal. Para funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Em , o grau do numerador e do denominador é 2. Então:
í
Portanto, a assíntota horizontal é:

Passo 5

Vamos encontrar as interceptações com os eixos.
Interceptação com o eixo : É o valor de quando .
Então, a interceptação com o eixo é no ponto .
Interceptações com o eixo : São os valores de para os quais .
Então, a única interceptação com o eixo é no ponto .

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos determinados pelas assíntotas verticais.
  1. Intervalo :
    • Escolha :
    • A função se aproxima da assíntota horizontal .
  2. Intervalo :
    • Escolha :
    • A função atravessa a origem.
  3. Intervalo :
    • Escolha :
    • A função está acima da assíntota horizontal .
Isso nos ajuda a entender como a função se comporta próximo às assíntotas e nos intervalos definidos.

Passo 7

Com todas as informações anteriores, podemos esboçar o gráfico:
  • Assíntotas verticais em e .
  • Assíntota horizontal em .
  • Interceptação no ponto .
  • Comportamento da função nos diferentes intervalos conforme analisado.
O gráfico terá duas “ramificações” separadas pelas assíntotas verticais, aproximando-se da assíntota horizontal conforme tende ao infinito positivo e negativo.

Resposta

O gráfico da função apresenta duas assíntotas verticais em e , uma assíntota horizontal em , e atravessa a origem no ponto . A função possui duas ramificações que se aproximam das assíntotas conforme se afasta de zero.

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