Esboce os gráficos das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A função que você precisa esboçar é uma função racional, que tem a forma de um polinômio dividido por outro polinômio. No caso, temos:
Para esboçar o gráfico dessa função, vamos precisar identificar alguns pontos importantes como o domínio, as interceptações com os eixos, e os tipos de assíntotas (verticais e horizontais ou oblíquas).
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma divisão, o denominador não pode ser zero. Então, vamos encontrar os valores de
que fazem o denominador ser zero:
Resolvendo essa equação quadrática:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, o domínio da função é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais acontecem nos valores de
que tornam o denominador zero, já que nesses pontos a função tende ao infinito. Dos valores que encontramos no Passo 2:
Então, temos duas assíntotas verticais:
Passo 4
Vamos determinar a assíntota horizontal. Para funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Em
, o grau do numerador e do denominador é 2. Então:
Portanto, a assíntota horizontal é:
Passo 5
Vamos encontrar as interceptações com os eixos.
Interceptação com o eixo
: É o valor de
quando
.
Então, a interceptação com o eixo
é no ponto
.
Interceptações com o eixo
: São os valores de
para os quais
.
Então, a única interceptação com o eixo
é no ponto
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos determinados pelas assíntotas verticais.
-
Intervalo
: - Escolha
: - A função se aproxima da assíntota horizontal
.
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
: - A função atravessa a origem.
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
: - A função está acima da assíntota horizontal
.
- Escolha
Isso nos ajuda a entender como a função se comporta próximo às assíntotas e nos intervalos definidos.
Passo 7
Com todas as informações anteriores, podemos esboçar o gráfico:
- Assíntotas verticais em
e . - Assíntota horizontal em
. - Interceptação no ponto
. - Comportamento da função nos diferentes intervalos conforme analisado.
O gráfico terá duas “ramificações” separadas pelas assíntotas verticais, aproximando-se da assíntota horizontal conforme
tende ao infinito positivo e negativo.
Resposta
O gráfico da função
apresenta duas assíntotas verticais em
e
, uma assíntota horizontal em
, e atravessa a origem no ponto
. A função possui duas ramificações que se aproximam das assíntotas conforme
se afasta de zero.
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Calcule os seguintes limites (usando as regras de L
Seja
. Determine o(s) ponto(s) do gráfico que
que tem reta tangente ortogonal à reta
.
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