Seja
. Determine o(s) ponto(s) do gráfico que
que tem reta tangente ortogonal à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar os pontos no gráfico dessa função onde a reta tangente é ortogonal (ou seja, perpendicular) à reta
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e geometria das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que duas retas são ortogonais. Duas retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares (as “inclinações”) for igual a -1. A reta
tem coeficiente angular
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente à função
. Para isso, vamos calcular a derivada de
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
A derivada de
é:
Passo 4
Queremos que a reta tangente seja ortogonal à reta
. Como o coeficiente angular da reta
é 1, o coeficiente angular da reta tangente deve ser:
Passo 5
Então, igualamos a derivada de
a
:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem
. Isso ocorre em dois pontos no intervalo de
a
:
Passo 7
Finalmente, calculamos os valores de
correspondentes usando a função original
:
Resposta
Os pontos do gráfico de
que têm reta tangente ortogonal à reta
são aproximadamente:
Exercícios relacionados
Expresse
em termos de
e de
, em que
é uma função diferenciável dada implicitamente por:
Calcule as derivadas das funções abaixo
Calcule os seguintes limites (usando as regras de L
Esboce os gráficos das funções abaixo.