Seja . Determine o(s) ponto(s) do gráfico que que tem reta tangente ortogonal à reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função e precisa encontrar os pontos no gráfico dessa função onde a reta tangente é ortogonal (ou seja, perpendicular) à reta . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e geometria das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que duas retas são ortogonais. Duas retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares (as “inclinações”) for igual a -1. A reta tem coeficiente angular .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente à função . Para isso, vamos calcular a derivada de , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .
A derivada de é:

Passo 4

Queremos que a reta tangente seja ortogonal à reta . Como o coeficiente angular da reta é 1, o coeficiente angular da reta tangente deve ser:

Passo 5

Então, igualamos a derivada de a :

Passo 6

Agora, precisamos encontrar os valores de que satisfazem . Isso ocorre em dois pontos no intervalo de a :

Passo 7

Finalmente, calculamos os valores de correspondentes usando a função original :

Resposta

Os pontos do gráfico de que têm reta tangente ortogonal à reta são aproximadamente:

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Expresse em termos de e de , em que é uma função diferenciável dada implicitamente por:
Calcule as derivadas das funções abaixo
Calcule os seguintes limites (usando as regras de L
Esboce os gráficos das funções abaixo.