Calcule os seguintes limites (usando as regras de L lim x +infty[1+1x^2]^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A matéria envolvida aqui é cálculo de limites, especificamente lidando com funções exponenciais quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e conhecer um pouco sobre limites exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos. Isso facilita o cálculo do limite. Vamos chamar a expressão original de y = (1 + 1x^2)^x :
ln(y) = x cdot ln(1 + 1x^2)
Agora, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados:
Isso nos ajuda a transformar o problema de encontrar o limite de em encontrar o limite de .

Passo 3

Vamos analisar o limite de limx to +infty x cdot ln(1 + 1x^2) quando ln(1 + 1x^2) approx 1x^2 vai para o infinito:
limx to +infty x cdot 1x^2 = limx to +infty 1x = 0
Sabemos que quando é bem pequeno, . No nosso caso, , que tende a zero quando tende ao infinito. Então podemos aproximar:
Substituindo na expressão do limite:

Passo 4

Agora que sabemos que limx to +infty y = e^0 = 1 , podemos voltar para . Como , temos:

Resposta

O limite é igual a 1.

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