Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos estudar sua concavidade e os pontos de inflexão. Isso significa que precisamos analisar onde a curva está “curvada para cima” ou “curvada para baixo” e identificar os pontos onde essa curvatura muda.
Para resolver isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função. A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função, e a segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada de
. A função pode ser reescrita como
.
Usando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é
, onde
e
.
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Isso envolve derivar
.
Vamos chamar o numerador de
e o denominador de
.
Usando a regra do quociente:
Primeiro, calculemos
e
:
Para
, temos:
Agora, substituindo na fórmula do
:
Essa expressão pode ser simplificada, mas para fins de análise de concavidade e pontos de inflexão, o importante é identificar onde
ou está indefinida.
Passo 4
Vamos encontrar os valores de
que fazem com que
ou onde
não existe.
Observando a expressão de
, percebemos que a concavidade pode mudar onde o denominador é zero ou onde o numerador é zero.
Além disso, devemos considerar o domínio da função original
:
Isso acontece para
.
Passo 5
Vamos analisar os intervalos de concavidade:
- Concavidade para cima: onde
- Concavidade para baixo: onde
Após calcular
e analisar seus sinais nos intervalos de
, podemos identificar onde a função muda de concavidade, indicando um ponto de inflexão.
Resposta
Após a análise, concluímos que a função
possui um ponto de inflexão em
, onde a concavidade da função muda.
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