Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos estudar sua concavidade e os pontos de inflexão. Isso significa que precisamos analisar onde a curva está “curvada para cima” ou “curvada para baixo” e identificar os pontos onde essa curvatura muda.
Para resolver isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função. A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função, e a segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada de . A função pode ser reescrita como .
Usando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é , onde e .
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Isso envolve derivar .
Vamos chamar o numerador de e o denominador de .
Usando a regra do quociente:
Primeiro, calculemos e :
Para , temos:
Agora, substituindo na fórmula do :
Essa expressão pode ser simplificada, mas para fins de análise de concavidade e pontos de inflexão, o importante é identificar onde ou está indefinida.

Passo 4

Vamos encontrar os valores de que fazem com que ou onde não existe.
Observando a expressão de , percebemos que a concavidade pode mudar onde o denominador é zero ou onde o numerador é zero.
Além disso, devemos considerar o domínio da função original :
Isso acontece para .

Passo 5

Vamos analisar os intervalos de concavidade:
  • Concavidade para cima: onde
  • Concavidade para baixo: onde
Após calcular e analisar seus sinais nos intervalos de , podemos identificar onde a função muda de concavidade, indicando um ponto de inflexão.

Resposta

Após a análise, concluímos que a função possui um ponto de inflexão em , onde a concavidade da função muda.

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