Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. A gente precisa estudar a função
para encontrar os máximos e mínimos locais e globais. Isso significa que vamos identificar os pontos onde a função atinge valores mais altos ou mais baixos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, principalmente derivadas, que nos ajudam a encontrar onde a função tem inclinação zero (ou seja, onde pode ter um pico ou um vale).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, e onde essa derivada é zero, temos candidatos a máximos ou mínimos.
A derivada de
em relação a
é:
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde
. Resolvendo a equação:
Essa é uma equação cúbica, e pode ser um pouco complicada de resolver analiticamente. Mas vamos tentar fatorar ou usar métodos numéricos para encontrar as raízes.
Passo 4
Vamos tentar fatorar a equação. Observando, podemos tentar valores inteiros para
que satisfaçam a equação. Testando
:
Testando
:
Então, não encontramos raízes inteiras facilmente. Vamos usar o método de Newton-Raphson ou uma calculadora para aproximar as raízes.
Passo 5
Usando métodos numéricos, encontramos que as soluções aproximadas para
são:
Esses são os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
Passo 6
Agora, para determinar se cada ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão, vamos usar a segunda derivada. A segunda derivada nos diz a concavidade da função.
Calculando a segunda derivada de
:
Passo 7
Avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de mínimo local.
Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de máximo local.
Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de mínimo local.
Passo 8
Para encontrar os valores dos máximos e mínimos, substituímos os valores de
na função original
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
A função
possui:
- Um mínimo local em
com valor . - Um máximo local em
com valor . - Um mínimo local em
com valor .
Como a função tende paraquando tende para , os mínimos locais também são os mínimos globais.
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Sabendo que
, prove que
.
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