Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. A gente precisa estudar a função para encontrar os máximos e mínimos locais e globais. Isso significa que vamos identificar os pontos onde a função atinge valores mais altos ou mais baixos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, principalmente derivadas, que nos ajudam a encontrar onde a função tem inclinação zero (ou seja, onde pode ter um pico ou um vale).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, e onde essa derivada é zero, temos candidatos a máximos ou mínimos.
A derivada de em relação a é:
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde . Resolvendo a equação:
Essa é uma equação cúbica, e pode ser um pouco complicada de resolver analiticamente. Mas vamos tentar fatorar ou usar métodos numéricos para encontrar as raízes.

Passo 4

Vamos tentar fatorar a equação. Observando, podemos tentar valores inteiros para que satisfaçam a equação. Testando :
Testando :
Então, não encontramos raízes inteiras facilmente. Vamos usar o método de Newton-Raphson ou uma calculadora para aproximar as raízes.

Passo 5

Usando métodos numéricos, encontramos que as soluções aproximadas para são:
Esses são os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos.

Passo 6

Agora, para determinar se cada ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão, vamos usar a segunda derivada. A segunda derivada nos diz a concavidade da função.
Calculando a segunda derivada de :

Passo 7

Avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
Para :
Como , isso indica que é um ponto de mínimo local.
Para :
Como , isso indica que é um ponto de máximo local.
Para :
Como , isso indica que é um ponto de mínimo local.

Passo 8

Para encontrar os valores dos máximos e mínimos, substituímos os valores de na função original :
Para :
Para :
Para :

Resposta

A função possui:
  • Um mínimo local em com valor .
  • Um máximo local em com valor .
  • Um mínimo local em com valor .
    Como a função tende para quando tende para , os mínimos locais também são os mínimos globais.

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