Sabendo que (raiz(n)(x))^n = x, prove que (raiz(n)(x))' = 1/n * x^(1/n - 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que a derivada de é igual a . A gente vai usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e propriedades de potências. Então, vamos precisar entender como derivar funções que envolvem raízes e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a raiz n-ésima de de uma forma que seja mais fácil de trabalhar quando formos derivar. Sabemos que é o mesmo que elevado a , ou seja:

Passo 3

Agora que temos a raiz escrita como uma potência, podemos aplicar a regra do poder para derivar. A regra do poder diz que, se você tem uma função , onde é uma constante, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Aplicando a regra do poder à nossa função , substituímos por :
Simplificando a expressão do expoente:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados