Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta em termos de crescimento e decrescimento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos indica a taxa de variação da função em cada ponto
. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos determinar onde
, pois esses pontos são candidatos a mudanças no comportamento da função (de crescente para decrescente ou vice-versa). Então, resolvemos a equação:
Passo 4
Para resolver a equação
, vamos fatorar
:
Como
nunca é zero, temos:
Passo 5
Resolvendo
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 6
Agora, vamos analisar o sinal da derivada
nos intervalos determinados pelo ponto crítico
:
-
Para
: Escolhemos, por exemplo, . A derivada é negativa, então a função está decrescendo. -
Para
: Escolhemos, por exemplo, . A derivada é positiva, então a função está crescendo.
Resposta
A função
está decrescendo no intervalo
e crescendo no intervalo
.
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Calcule os seguintes limites (usando as regras de L
Sabendo que
, prove que
.
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.
Esboce os gráficos das funções abaixo.