Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta em termos de crescimento e decrescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos indica a taxa de variação da função em cada ponto . Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos determinar onde , pois esses pontos são candidatos a mudanças no comportamento da função (de crescente para decrescente ou vice-versa). Então, resolvemos a equação:

Passo 4

Para resolver a equação , vamos fatorar :
Como nunca é zero, temos:

Passo 5

Resolvendo , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 6

Agora, vamos analisar o sinal da derivada nos intervalos determinados pelo ponto crítico :
  1. Para : Escolhemos, por exemplo, .
    A derivada é negativa, então a função está decrescendo.
  2. Para : Escolhemos, por exemplo, .
    A derivada é positiva, então a função está crescendo.

Resposta

A função está decrescendo no intervalo e crescendo no intervalo .

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