Calcule os seguintes limites usando o Teorema do Confronto:
lim x 0 raiz[3]x 2^sen(1x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite para calcular usando o Teorema do Confronto. O exercício é:
lim x 0 raiz[3]x cdot 2^sin(1x^2)
Aqui, estamos lidando com limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam perto de 0 e como usar o Teorema do Confronto para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as partes da nossa expressão. Temos duas funções multiplicadas:
  1. que é a raiz cúbica de .
  2. que é 2 elevado ao seno de .

Passo 3

Vamos olhar a função -1 <= sin(1x^2) <= 1 . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Então:
2^-1 <= 2^sin(1x^2) <= 2^1
Elevando 2 a cada parte dessa desigualdade:
12 <= 2^sin(1x^2) <= 2
Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar toda essa desigualdade por raiz[3]x2 <= raiz[3]x cdot 2^sin(1x^2) <= 2 cdot raiz[3]x . Mas atenção! Como está se aproximando de 0, também se aproxima de 0. Porém, precisamos considerar o sinal de .
Se é positivo ou negativo, a raiz cúbica preserva o sinal de . Então, multiplicando a desigualdade:

Passo 5

Agora, vamos analisar os limites das duas extremidades quando limx to 0 raiz[3]x2 = 02 = 0 :
limx to 0 2 cdot raiz[3]x = 2 cdot 0 = 0
Então, ambas as extremidades da nossa desigualdade tendem a 0.

Passo 6

Segundo o Teorema do Confronto, se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite em um ponto, então o limite da função no meio também é esse mesmo valor.

Resposta

Portanto:
lim x 0 raiz[3]x cdot 2^sin(1x^2) = 0

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