Calcule os seguintes limites usando o Teorema do Confronto:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um limite para calcular usando o Teorema do Confronto. O exercício é:
Aqui, estamos lidando com limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam perto de 0 e como usar o Teorema do Confronto para encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as partes da nossa expressão. Temos duas funções multiplicadas:
-
que é a raiz cúbica de . -
que é 2 elevado ao seno de .
Passo 3
Vamos olhar a função
. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Então:
Elevando 2 a cada parte dessa desigualdade:
Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar toda essa desigualdade por
. Mas atenção! Como
está se aproximando de 0,
também se aproxima de 0. Porém, precisamos considerar o sinal de
.
Se
é positivo ou negativo, a raiz cúbica preserva o sinal de
. Então, multiplicando a desigualdade:
Passo 5
Agora, vamos analisar os limites das duas extremidades quando
:
Então, ambas as extremidades da nossa desigualdade tendem a 0.
Passo 6
Segundo o Teorema do Confronto, se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite em um ponto, então o limite da função no meio também é esse mesmo valor.
Resposta
Portanto: