Calcule os seguintes limites usando o Teorema da (e)
(Não se esqueça de provar que
.)
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Aqui, estamos lidando com um limite que envolve radiciação e polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar o teorema que nos permite simplificar expressões de limites, além de fatorar o denominador. Também precisamos provar que
para todo
real.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Sabemos que
, então a expressão fica
. Podemos fatorar essa diferença de cubos usando a fórmula:
Aqui,
e
, então:
Passo 3
Agora, olhando para o numerador
, percebemos que podemos relacionar
com
, já que
. Portanto, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Seja
, então
.
Passo 4
Substituindo
no denominador fatorado:
Mas como
, isso não simplifica de forma útil. Então, vamos manter a fatoração original:
Passo 5
Voltando à expressão original do limite:
Observamos que quando
se aproxima de
, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, o que sugere uma forma indeterminada
. Para resolver isso, precisamos simplificar a expressão.
Passo 6
Vamos relacionar
com
. Sabemos que:
Isso porque multiplicamos e dividimos por
para racionalizar.
Passo 7
Substituindo essa expressão no numerador:
Agora, o limite fica:
Passo 8
Podemos cancelar o fator
do numerador e do denominador:
Passo 9
Agora, substituímos
diretamente na expressão simplificada:
Calculando cada parte:
-
, então -
, então
Substituindo:
Passo 10
Simplificando as frações:
Então:
Passo 11
Agora, vamos provar que
para todo
.
Passo 12
Considere a expressão
. Seja
. Então, a expressão se torna
.
Passo 13
Vamos analisar se essa expressão pode ser igual a zero. Resolvemos a equação:
Calculamos o discriminante:
Como o discriminante é negativo, não há soluções reais para
. Portanto, a expressão
nunca é igual a zero para qualquer
.
Passo 14
Assim, concluímos que
para todo
.
Resposta
O limite é
, e a expressão
nunca é igual a zero para qualquer número real
.