Calcule os seguintes limites usando o Teorema da (e) lim x 8 256 cdot(raiz[3]x-2)x^3-8^3 (Não se esqueça de provar que ((raiz[3]x)^2+2 cdot raiz[3]x+4) neq 0, forall x in R.)

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 8 256 cdot(raiz[3]x-2)x^3-8^3. Aqui, estamos lidando com um limite que envolve radiciação e polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar o teorema que nos permite simplificar expressões de limites, além de fatorar o denominador. Também precisamos provar que ((raiz[3]x)^2+2 cdot raiz[3]x+4) neq 0 para todo x real.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador x^3 - 8^3. Sabemos que 8^3 = 512, então a expressão fica x^3 - 512. Podemos fatorar essa diferença de cubos usando a fórmula:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Aqui, a = x e b = 8, então:
x^3 - 512 = (x - 8)(x^2 + 8x + 64)

Passo 3

Agora, olhando para o numerador 256 cdot (raiz[3]x - 2), percebemos que podemos relacionar raiz[3]x com x, já que 8 = 2^3. Portanto, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Seja u = raiz[3]x, então x = u^3.

Passo 4

Substituindo x = u^3 no denominador fatorado:
x^3 - 512 = (u^3 - 8)(u^6 + 8u^3 + 64)
Mas como u^3 = x, isso não simplifica de forma útil. Então, vamos manter a fatoração original:
x^3 - 512 = (x - 8)(x^2 + 8x + 64)

Passo 5

Voltando à expressão original do limite:
lim x 8 256 cdot (raiz[3]x-2)(x - 8)(x^2 + 8x + 64)
Observamos que quando x se aproxima de 8, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, o que sugere uma forma indeterminada 00. Para resolver isso, precisamos simplificar a expressão.

Passo 6

Vamos relacionar raiz[3]x - 2 com x - 8. Sabemos que:
raiz[3]x - 2 = x - 8raiz[3]x^2 + 2raiz[3]x + 4
Isso porque multiplicamos e dividimos por raiz[3]x^2 + 2raiz[3]x + 4 para racionalizar.

Passo 7

Substituindo essa expressão no numerador:
256 cdot x - 8raiz[3]x^2 + 2raiz[3]x + 4
Agora, o limite fica:
lim x 8 256 cdot x - 8raiz[3]x^2 + 2raiz[3]x + 4(x - 8)(x^2 + 8x + 64)

Passo 8

Podemos cancelar o fator (x - 8) do numerador e do denominador:
lim x 8 256raiz[3]x^2 + 2raiz[3]x + 4 cdot 1x^2 + 8x + 64

Passo 9

Agora, substituímos x = 8 diretamente na expressão simplificada:
256raiz[3]8^2 + 2raiz[3]8 + 4 cdot 18^2 + 8 cdot 8 + 64
Calculando cada parte:
  • raiz[3]8 = 2, então raiz[3]8^2 = raiz[3]64 = 4
  • 8^2 = 64, então 8^2 + 8 cdot 8 + 64 = 64 + 64 + 64 = 192
Substituindo:
2564 + 2 cdot 2 + 4 cdot 1192 = 2564 + 4 + 4 cdot 1192 = 25612 cdot 1192

Passo 10

Simplificando as frações:
25612 = 643
Então:
643 cdot 1192 = 64576 = 19

Passo 11

Agora, vamos provar que ((raiz[3]x)^2+2 cdot raiz[3]x+4) neq 0 para todo x in R.

Passo 12

Considere a expressão (raiz[3]x)^2 + 2 cdot raiz[3]x + 4. Seja u = raiz[3]x. Então, a expressão se torna u^2 + 2u + 4.

Passo 13

Vamos analisar se essa expressão pode ser igual a zero. Resolvemos a equação:
u^2 + 2u + 4 = 0
Calculamos o discriminante:
De
Como o discriminante é negativo, não há soluções reais para u. Portanto, a expressão u^2 + 2u + 4 nunca é igual a zero para qualquer u in R.

Passo 14

Assim, concluímos que ((raiz[3]x)^2+2 cdot raiz[3]x+4) neq 0 para todo x in R.

Resposta

O limite é 19, e a expressão ((raiz[3]x)^2+2 cdot raiz[3]x+4) nunca é igual a zero para qualquer número real x.

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