Calcule os seguintes limites usando o Teorema da (a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A matéria envolvida aqui é cálculo de limites, especificamente usando o Teorema de L’Hospital. Vamos precisar aplicar esse teorema porque, ao substituir
, tanto o numerador quanto o denominador vão dar zero, indicando uma indeterminação do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar a indeterminação. Substituindo
:
Como temos uma indeterminação do tipo
, podemos usar o Teorema de L’Hospital para resolver esse limite.
Passo 3
O Teorema de L’Hospital diz que se
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador
: - Derivada do denominador
: Usando a regra da cadeia,
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema de L’Hospital substituindo as derivadas:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Como
,
está um pouco maior que 3, então
está perto de 6. Podemos então aproximar
.
Passo 6
Substituindo de volta na expressão do limite:
Resposta
O limite é igual a
.