Calcule os seguintes limites usando o Teorema da (a) lim x 3^+ x-3raizx^2-9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A matéria envolvida aqui é cálculo de limites, especificamente usando o Teorema de L’Hospital. Vamos precisar aplicar esse teorema porque, ao substituir , tanto o numerador quanto o denominador vão dar zero, indicando uma indeterminação do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar a indeterminação. Substituindo 3-3raiz3^2-9 = 0raiz9-9 = 00 :
Como temos uma indeterminação do tipo , podemos usar o Teorema de L’Hospital para resolver esse limite.

Passo 3

O Teorema de L’Hospital diz que se ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador :
  • Derivada do denominador : Usando a regra da cadeia,

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema de L’Hospital substituindo as derivadas:
lim x 3^+ f'(x)g'(x) = lim x 3^+ 1xraizx^2-9 = lim x 3^+ raizx^2-9x

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
raizx^2-9x = raiz(x-3)(x+3)x
Como , está um pouco maior que 3, então está perto de 6. Podemos então aproximar .

Passo 6

Substituindo de volta na expressão do limite:
lim x 3^+ raiz6(x-3)x = raiz6 cdot 03 = 03 = 0

Resposta

O limite é igual a .

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