Esboce as curvas de nível das funções: z = 4 x^2 + y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar as curvas de nível da função . Isso faz parte do conteúdo de funções de duas variáveis e curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. As curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função mantém um valor constante. Ou seja, para um valor fixo de , a equação representa uma curva no plano .

Passo 3

Vamos escolher alguns valores para e ver que tipo de curvas essas equações representam. Por exemplo, vamos usar , , e :
  1. Para :
    Essa é a equação de uma elipse.
  2. Para :
    Também é uma elipse maior que a anterior.
  3. Para :
    É uma elipse ainda maior.

Passo 4

Vamos analisar a forma geral da equação . Podemos reescrever essa equação dividindo ambos os lados por :
Isso mostra que cada equação representa uma elipse centrada na origem, onde o eixo tem comprimento proporcional a e o eixo a .

Passo 5

Agora, para esboçar as curvas de nível, vamos desenhar várias elipses para diferentes valores de :
  • Para : Elipse estreita.
  • Para : Elipse um pouco mais larga.
  • Para : Elipse ainda mais larga.
Cada elipse representa um nível diferente da função , aumentando conforme aumenta.

Resposta

As curvas de nível da função são elipses centradas na origem, com eixos principais que aumentam de tamanho conforme o valor constante aumenta. O esboço dessas curvas mostra elipses de diferentes tamanhos, todas orientadas ao longo dos eixos e .

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