Esboce as curvas de nível das funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar as curvas de nível da função
. Isso faz parte do conteúdo de funções de duas variáveis e curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. As curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função
mantém um valor constante. Ou seja, para um valor fixo de
, a equação
representa uma curva no plano
.
Passo 3
Vamos escolher alguns valores para
e ver que tipo de curvas essas equações representam. Por exemplo, vamos usar
,
, e
:
-
Para
: Essa é a equação de uma elipse. -
Para
: Também é uma elipse maior que a anterior. -
Para
: É uma elipse ainda maior.
Passo 4
Vamos analisar a forma geral da equação
. Podemos reescrever essa equação dividindo ambos os lados por
:
Isso mostra que cada equação representa uma elipse centrada na origem, onde o eixo
tem comprimento proporcional a
e o eixo
a
.
Passo 5
Agora, para esboçar as curvas de nível, vamos desenhar várias elipses para diferentes valores de
:
- Para
: Elipse estreita. - Para
: Elipse um pouco mais larga. - Para
: Elipse ainda mais larga.
Cada elipse representa um nível diferente da função
, aumentando conforme
aumenta.
Resposta
As curvas de nível da função
são elipses centradas na origem, com eixos principais que aumentam de tamanho conforme o valor constante
aumenta. O esboço dessas curvas mostra elipses de diferentes tamanhos, todas orientadas ao longo dos eixos
e
.