Calcule os seguintes limites usando o Teorema da § lim x 0 x^2 cdot arctg(1x^2)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 0. Para isso, vamos usar conceitos de limites e algumas propriedades da função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento de cada parte da expressão quando se aproxima de 0.
  • : À medida que se aproxima de 0, também se aproxima de 0, já que estamos elevando um número muito pequeno ao quadrado, o que o torna ainda menor.
  • : Quando se aproxima de 0, fica muito pequeno, então fica muito grande, ou seja, tende para .
  • : Sabemos que a função arco-tangente, , se aproxima de quando tende para .

Passo 3

Agora, vamos juntar essas informações para analisar o limite da expressão completa:
limx to 0 x^2 cdot arctan(1x^2)
Substituindo os comportamentos que identificamos:
x^2 cdot arctan(1x^2) approx x^2 cdot pi2 quando x to 0
Como está se aproximando de 0 e é uma constante, o produto inteiro vai se aproximar de 0.

Resposta

O limite é 0.

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