Verifique quais das seguintes funções cumprem as condições de Cauchy-Riemann, caso a condição de Cauchy-Riemann não seja satisfeita em todos os pontos do domínio, indique em quais pontos são satifeitos. Para as que cumprirem, calcule
.
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função
satisfaz as condições de Cauchy-Riemann. Essas condições são fundamentais para saber se uma função é analítica (ou seja, diferenciável) em todo ponto do seu domínio. Para isso, vamos precisar:
- Separar a função em suas partes real
e imaginária . - Aplicar as condições de Cauchy-Riemann, que envolvem as derivadas parciais de
e . - Verificar se essas condições são satisfeitas em todos os pontos ou apenas em alguns.
- Se a função satisfizer as condições, calcular a derivada
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes real e imaginária da função:
Onde:
Passo 3
As condições de Cauchy-Riemann dizem que, para uma função ser analítica em um ponto, as seguintes equações devem ser satisfeitas nesse ponto:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de
:
Passo 5
Calculando as derivadas parciais de
:
Passo 6
Agora, vamos comparar as derivadas de acordo com as condições de Cauchy-Riemann:
-
precisa ser igual a :
Simplificando:
-
precisa ser igual a :
Passo 7
Vamos analisar as equações obtidas:
Substituindo
na primeira equação:
Isso nos dá:
Essa equação não tem solução real, porque
é sempre positivo e
também é sempre positivo, então a soma nunca será zero.
Passo 8
Como as condições de Cauchy-Riemann não são satisfeitas em nenhum ponto do domínio, a função
não é analítica em nenhum ponto.
Resposta
A função
não satisfaz as condições de Cauchy-Riemann em nenhum ponto do seu domínio, portanto, ela não é analítica e não possui derivada
nesses pontos.