Verifique quais das seguintes funções cumprem as condições de Cauchy-Riemann, caso a condição de Cauchy-Riemann não seja satisfeita em todos os pontos do domínio, indique em quais pontos são satifeitos. Para as que cumprirem, calcule f'(z).
e) f(z) = x^(-3) - 3*x*y^2 + i*(3*x*y^2 - y^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função satisfaz as condições de Cauchy-Riemann. Essas condições são fundamentais para saber se uma função é analítica (ou seja, diferenciável) em todo ponto do seu domínio. Para isso, vamos precisar:
  1. Separar a função em suas partes real e imaginária .
  2. Aplicar as condições de Cauchy-Riemann, que envolvem as derivadas parciais de e .
  3. Verificar se essas condições são satisfeitas em todos os pontos ou apenas em alguns.
  4. Se a função satisfizer as condições, calcular a derivada .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes real e imaginária da função:
Onde:

Passo 3

As condições de Cauchy-Riemann dizem que, para uma função ser analítica em um ponto, as seguintes equações devem ser satisfeitas nesse ponto:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de :

Passo 5

Calculando as derivadas parciais de :

Passo 6

Agora, vamos comparar as derivadas de acordo com as condições de Cauchy-Riemann:
  1. precisa ser igual a :
Simplificando:
  1. precisa ser igual a :

Passo 7

Vamos analisar as equações obtidas:
Substituindo na primeira equação:
Isso nos dá:
Essa equação não tem solução real, porque é sempre positivo e também é sempre positivo, então a soma nunca será zero.

Passo 8

Como as condições de Cauchy-Riemann não são satisfeitas em nenhum ponto do domínio, a função não é analítica em nenhum ponto.

Resposta

A função não satisfaz as condições de Cauchy-Riemann em nenhum ponto do seu domínio, portanto, ela não é analítica e não possui derivada nesses pontos.

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