Sabendo que para cada x0 in Dom(f) definimos a derivada de f no ponto x0 como sendo f^prime(x0)=lim x x0 f(x)-f(x0)x-x0=lim h 0 f(x0+h)-f(x0)h se tal limite existe, calcule, se possível, f^prime(x0) em cada caso a seguir:
© f(x)=x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função usando a definição de derivada. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivada pelo limite.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função f^prime(x0) = lim h 0 f(x0+h) - f(x0)h no ponto é dada por:
Isso significa que estamos calculando a taxa de variação da função naquele ponto específico .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função f^prime(x0) = lim h 0 (x0 + h)^2 - x0^2h . Substituímos na fórmula:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador da fração. Expandindo (x0 + h)^2 = x0^2 + 2x0h + h^2 :
f^prime(x0) = lim h 0 x0^2 + 2x0h + h^2 - x0^2h
Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 5

Simplificando o numerador:
x0^2 + 2x0h + h^2 - x0^2 = 2x0h + h^2
Então, a expressão fica:
f^prime(x0) = lim h 0 2x0h + h^2h

Passo 6

Agora, vamos dividir cada termo do numerador por 2x0hh + h^2h = 2x0 + h :
f^prime(x0) = lim h 0 (2x0 + h)
Então, a derivada fica:

Passo 7

Finalmente, aplicamos o limite quando f^prime(x0) = 2x0 + 0 = 2x0 tende a 0:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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