Verifique quais das seguintes funções cumprem as condições de Cauchy-Riemann, caso a condição de Cauchy-Riemann não seja satisfeita em todos os pontos do domínio, indique em quais pontos são satifeitos. Para as que cumprirem, calcule
.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função
satisfaz as Condições de Cauchy-Riemann. Isso faz parte da Análise Complexa, onde a gente estuda quando uma função de variável complexa é diferenciável. Para resolver isso, vamos precisar:
- Escrever a função em termos das partes real e imaginária.
- Calcular as derivadas parciais dessas partes.
- Verificar se as Condições de Cauchy-Riemann são atendidas.
- Se atender, calcular a derivada
.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
de forma mais detalhada. Sabemos que qualquer número complexo
pode ser escrito como
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária.
Então, a conjugada de
, que é
, fica:
Aqui, podemos identificar as partes real e imaginária de
:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
:
Passo 4
As Condições de Cauchy-Riemann dizem que, para a função ser diferenciável em um ponto, as seguintes igualdades devem ser verdadeiras:
Vamos verificar:
-
e . Não são iguais. -
e . São iguais.
Então, a primeira condição não é satisfeita em nenhum ponto do domínio. Isso significa que as Condições de Cauchy-Riemann não são atendidas para a função
em nenhum ponto complexo.
Resposta
A função
não satisfaz as Condições de Cauchy-Riemann em nenhum ponto do seu domínio, portanto, ela não é diferenciável em nenhum ponto do plano complexo.