Verifique quais das seguintes funções cumprem as condições de Cauchy-Riemann, caso a condição de Cauchy-Riemann não seja satisfeita em todos os pontos do domínio, indique em quais pontos são satifeitos. Para as que cumprirem, calcule f'(z).
a) f(z) = z barra

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função satisfaz as Condições de Cauchy-Riemann. Isso faz parte da Análise Complexa, onde a gente estuda quando uma função de variável complexa é diferenciável. Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Escrever a função em termos das partes real e imaginária.
  2. Calcular as derivadas parciais dessas partes.
  3. Verificar se as Condições de Cauchy-Riemann são atendidas.
  4. Se atender, calcular a derivada .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar de forma mais detalhada. Sabemos que qualquer número complexo pode ser escrito como , onde e são números reais, e é a unidade imaginária.
Então, a conjugada de , que é , fica:
Aqui, podemos identificar as partes real e imaginária de :
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e :

Passo 4

As Condições de Cauchy-Riemann dizem que, para a função ser diferenciável em um ponto, as seguintes igualdades devem ser verdadeiras:
Vamos verificar:
  1. e . Não são iguais.
  2. e . São iguais.
Então, a primeira condição não é satisfeita em nenhum ponto do domínio. Isso significa que as Condições de Cauchy-Riemann não são atendidas para a função em nenhum ponto complexo.

Resposta

A função não satisfaz as Condições de Cauchy-Riemann em nenhum ponto do seu domínio, portanto, ela não é diferenciável em nenhum ponto do plano complexo.

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