Verifique quais das seguintes funções cumprem as condições de Cauchy-Riemann, caso a condição de Cauchy-Riemann não seja satisfeita em todos os pontos do domínio, indique em quais pontos são satifeitos. Para as que cumprirem, calcule f'(z).
d) f(z) = e^(-y)(cos x + i sen x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função satisfaz as condições de Cauchy-Riemann. Isso faz parte da matéria de Análise Complexa. Para resolver, vamos precisar identificar as partes real e imaginária da função, calcular derivadas parciais e verificar as condições de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função na forma , onde é a parte real e é a parte imaginária.
Dada a função:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e .
Derivadas de :
Derivadas de :

Passo 4

As condições de Cauchy-Riemann dizem que, para uma função ser diferenciável (holomórfica) em um ponto, as seguintes igualdades devem ser verdadeiras nesse ponto:
Vamos verificar se essas condições são satisfeitas.
Comparando e :
Então, é verdade para todos os pontos .
Agora, comparando e :
Também, é verdade para todos os pontos .

Passo 5

Como ambas as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas para todos os pontos no domínio da função, concluímos que a função cumpre as condições de Cauchy-Riemann em todo o seu domínio.

Passo 6

Como a função satisfaz as condições de Cauchy-Riemann em todo o domínio, ela é holomórfica, e podemos calcular a derivada . A derivada de uma função holomórfica pode ser encontrada usando:
Calculando:
Observando que , podemos simplificar:

Resposta

A função satisfaz as condições de Cauchy-Riemann em todos os pontos do seu domínio. A derivada de é:

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