Verifique quais das seguintes funções cumprem as condições de Cauchy-Riemann, caso a condição de Cauchy-Riemann não seja satisfeita em todos os pontos do domínio, indique em quais pontos são satifeitos. Para as que cumprirem, calcule
.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função
satisfaz as condições de Cauchy-Riemann. Isso faz parte da matéria de Análise Complexa. Para resolver, vamos precisar identificar as partes real e imaginária da função, calcular derivadas parciais e verificar as condições de Cauchy-Riemann.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função
na forma
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária.
Dada a função:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Derivadas de
:
Derivadas de
:
Passo 4
As condições de Cauchy-Riemann dizem que, para uma função ser diferenciável (holomórfica) em um ponto, as seguintes igualdades devem ser verdadeiras nesse ponto:
Vamos verificar se essas condições são satisfeitas.
Comparando
e
:
Então,
é verdade para todos os pontos
.
Agora, comparando
e
:
Também,
é verdade para todos os pontos
.
Passo 5
Como ambas as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas para todos os pontos
no domínio da função, concluímos que a função
cumpre as condições de Cauchy-Riemann em todo o seu domínio.
Passo 6
Como a função satisfaz as condições de Cauchy-Riemann em todo o domínio, ela é holomórfica, e podemos calcular a derivada
. A derivada de uma função holomórfica pode ser encontrada usando:
Calculando:
Observando que
, podemos simplificar:
Resposta
A função
satisfaz as condições de Cauchy-Riemann em todos os pontos do seu domínio. A derivada de
é: