Calcule os seguintes limites usando o Teorema da (m)
com
constante
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
, onde
é uma constante. Aqui, estamos lidando com limites envolvendo raízes e indeterminações, então vamos precisar de algumas ferramentas de cálculo, como a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece se substituirmos
por
diretamente na expressão:
Isso nos dá uma forma indeterminada
, o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital para encontrar o limite.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se
resulta em
ou
, então podemos calcular o limite das derivadas:
Vamos identificar
e
na nossa expressão:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
Passo 6
Simplificando a expressão, percebemos que
. Então:
À medida que
se aproxima de
pela direita,
se aproxima de 0, portanto,
também se aproxima de 0. Como todas as outras partes da expressão são finitas e não se anulam, o limite total será 0.