Calcule os seguintes limites usando o Teorema da (m) lim x a^+ raizx-raizaraizx^2-a^2 com a>0 constante

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: , onde é uma constante. Aqui, estamos lidando com limites envolvendo raízes e indeterminações, então vamos precisar de algumas ferramentas de cálculo, como a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece se substituirmos raiza - raizaraiza^2 - a^2 = 00 por diretamente na expressão:
Isso nos dá uma forma indeterminada , o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital para encontrar o limite.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se limx to c f'(x)g'(x) resulta em f(x) = raizx - raiza e g(x) = raizx^2 - a^2 ou , então podemos calcular o limite das derivadas:
Vamos identificar e na nossa expressão:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de f'(x) = ddx (raizx) - ddx (raiza) = 12raizx - 0 = 12raizx e g'(x) = ddx (raizx^2 - a^2) = 12raizx^2 - a^2 cdot 2x = xraizx^2 - a^2 :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
lim x a^+ raizx-raizaraizx^2-a^2 = lim x a^+ 12raizxxraizx^2-a^2 = lim x a^+ raizx^2-a^22xraizx

Passo 6

Simplificando a expressão, percebemos que lim x a^+ raiz(x - a)(x + a)2xraizx = lim x a^+ raizx - a cdot raizx + a2xraizx . Então:
À medida que se aproxima de pela direita, se aproxima de 0, portanto, também se aproxima de 0. Como todas as outras partes da expressão são finitas e não se anulam, o limite total será 0.

Resposta

lim x a^+ raizx-raizaraizx^2-a^2 = 0

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