A função abaixo é contínua em (0,0) ? Justifique.
f(x, y)=cc 2 x^2 y3 x^2+3 y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta se a função é contínua no ponto . Vamos usar conceitos de limites e continuidade para resolver isso. Precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto existe e é igual ao valor da função no ponto. Matemáticamente, isso é:
lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0)
Como , precisamos ver se o limite de tende a 0 quando vai para .

Passo 3

Vamos analisar a função f(x, y) = 2x^2y3x^2 + 3y^2 :
3x^2 + 3y^2 = 3(x^2 + y^2)
Para facilitar, podemos simplificar o denominador:
f(x, y) = 2x^2y3(x^2 + y^2) = 23 cdot x^2yx^2 + y^2
Então, a função fica:

Passo 4

Vamos usar coordenadas polares para calcular o limite. Em coordenadas polares, f(rcostheta, rsintheta) = 23 cdot (rcostheta)^2 cdot rsintheta(rcostheta)^2 + (rsintheta)^2 e (rcostheta)^2 + (rsintheta)^2 = r^2(cos^2theta + sin^2theta) = r^2 , onde f(rcostheta, rsintheta) = 23 cdot r^2cos^2theta cdot rsinthetar^2 = 23 cdot rcos^2theta sintheta é a distância até o ponto e é o ângulo.
Substituindo na função:
Simplificando o denominador:
Então, a função fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limr to 0 23 cdot rcos^2theta sintheta = 23 cdot limr to 0 rcos^2theta sintheta tende a 0:
Como e são sempre finitos e tende a 0, o produto todo tende a 0.

Passo 6

Portanto, o limite de quando se aproxima de é 0, que é igual ao valor de . Isso significa que a função é contínua no ponto .

Resposta

Sim, a função é contínua em .

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