A função abaixo é contínua em
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta se a função
é contínua no ponto
. Vamos usar conceitos de limites e continuidade para resolver isso. Precisamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto existe e é igual ao valor da função no ponto. Matemáticamente, isso é:
Como
, precisamos ver se o limite de
tende a 0 quando
vai para
.
Passo 3
Vamos analisar a função
:
Para facilitar, podemos simplificar o denominador:
Então, a função fica:
Passo 4
Vamos usar coordenadas polares para calcular o limite. Em coordenadas polares,
e
, onde
é a distância até o ponto
e
é o ângulo.
Substituindo na função:
Simplificando o denominador:
Então, a função fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a 0:
Como
e
são sempre finitos e
tende a 0, o produto todo tende a 0.
Passo 6
Portanto, o limite de
quando
se aproxima de
é 0, que é igual ao valor de
. Isso significa que a função é contínua no ponto
.
Resposta
Sim, a função
é contínua em
.