Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando
se aproxima de 2 da expressão:
Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente tratando de limites. Para resolver, vamos precisar entender como manipular frações e fatorar expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada termo da expressão:
Perceba que o denominador
pode ser fatorado. Sabemos que
é uma diferença de quadrados, que pode ser escrita como:
Então, nossa expressão fica:
Passo 3
Agora, para facilitar a subtração dessas frações, vamos encontrar um denominador comum. O denominador comum aqui é
. Vamos reescrever a primeira fração com esse denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora que as frações têm o mesmo denominador, podemos subtrair os numeradores:
Passo 5
Observamos que
está tanto no numerador quanto no denominador, podendo ser cancelado (desde que
, o que é válido no limite):
Passo 6
Agora, a expressão simplificada é
. Para encontrar o limite quando
se aproxima de 2, substituímos diretamente:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Encontre a derivada indicada.
(d)
(d)
Encontre
aplicando a definição.
Determine se a função
é contínua no número
dado. Calcule
e
, se existirem, e determine se
é derivável em
.
(a)
(a)
Encontre a derivada indicada.
(g)
(g)