Calcule os seguintes limites:
v) lim x 2(1x-2-4x^2-4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando lim x 2(1x-2-4x^2-4) se aproxima de 2 da expressão:
Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente tratando de limites. Para resolver, vamos precisar entender como manipular frações e fatorar expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada termo da expressão:
1x-2 e 4x^2-4
Perceba que o denominador x^2-4 = (x-2)(x+2) pode ser fatorado. Sabemos que 1x-2 - 4(x-2)(x+2) é uma diferença de quadrados, que pode ser escrita como:
Então, nossa expressão fica:

Passo 3

Agora, para facilitar a subtração dessas frações, vamos encontrar um denominador comum. O denominador comum aqui é 1x-2 = (x+2)(x-2)(x+2) . Vamos reescrever a primeira fração com esse denominador:
(x+2)(x-2)(x+2) - 4(x-2)(x+2)
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora que as frações têm o mesmo denominador, podemos subtrair os numeradores:
(x+2) - 4(x-2)(x+2) = x+2-4(x-2)(x+2) = x-2(x-2)(x+2)

Passo 5

Observamos que x-2(x-2)(x+2) = 1x+2 está tanto no numerador quanto no denominador, podendo ser cancelado (desde que , o que é válido no limite):

Passo 6

Agora, a expressão simplificada é lim x 2 1x+2 = 12+2 = 14 . Para encontrar o limite quando se aproxima de 2, substituímos diretamente:

Resposta

O limite é .

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