Encontre
aplicando a definição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada de
no ponto
usando a definição de derivada. Isso faz parte do estudo de Derivadas no Cálculo. Para resolver, vamos precisar aplicar a definição de derivada, que envolve limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de
em
, chamada
, é o limite quando
aproxima de zero de:
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, temos que:
Passo 4
Vamos calcular
e
. Sabemos que:
e
Passo 5
Substituindo na definição da derivada:
Passo 6
Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos o numerador e o denominador por
:
Passo 7
No numerador, usamos a identidade
:
Então, o limite fica:
Passo 8
Agora, basta substituir
:
Passo 9
Podemos racionalizar o denominador:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Encontre
aplicando a definição.
(a)
(a)
Defina
e determine os números nos quais
é contínua.
Encontre a derivada indicada.
(d)
(d)
Calcule os seguintes limites: