Encontre aplicando a definição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada de no ponto usando a definição de derivada. Isso faz parte do estudo de Derivadas no Cálculo. Para resolver, vamos precisar aplicar a definição de derivada, que envolve limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de em , chamada , é o limite quando aproxima de zero de:

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, temos que:

Passo 4

Vamos calcular e . Sabemos que:
e

Passo 5

Substituindo na definição da derivada:

Passo 6

Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos o numerador e o denominador por :

Passo 7

No numerador, usamos a identidade :
Então, o limite fica:

Passo 8

Agora, basta substituir :

Passo 9

Podemos racionalizar o denominador:

Resposta

A derivada de no ponto é .

Exercícios relacionados

Encontre aplicando a definição.
(a)
Defina e determine os números nos quais é contínua.
Encontre a derivada indicada.
(d)
Calcule os seguintes limites: