Encontre f'(a) aplicando a definição.
f(x) = raiz(1 + x), a = 7

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada de no ponto usando a definição de derivada. Isso faz parte do estudo de Derivadas no Cálculo. Para resolver, vamos precisar aplicar a definição de derivada, que envolve limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de f em a, chamada , é o limite quando h aproxima de zero de:

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, temos que:

Passo 4

Vamos calcular e . Sabemos que:
e

Passo 5

Substituindo na definição da derivada:

Passo 6

Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos o numerador e o denominador por :

Passo 7

No numerador, usamos a identidade :
Então, o limite fica:

Passo 8

Agora, basta substituir :

Passo 9

Podemos racionalizar o denominador:

Resposta

A derivada de f no ponto é .

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