Encontre a derivada indicada.
(d) d/dx (sen x / (1 - cos x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada da função . Vamos usar o cálculo de derivadas, especificamente a regra do quociente, que serve para derivar frações onde o numerador e o denominador são funções de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra do quociente. Se temos uma função do tipo , a derivada dela é dada por:

Passo 3

Agora, vamos identificar as partes da nossa fração:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
  • Derivada de :
(Porque a derivada de é )
  • Derivada de :
(Porque a derivada de é )

Passo 5

Aplicando a regra do quociente na nossa função:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:

Passo 7

Lembrando da identidade trigonométrica , substituímos :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da derivada:
Podemos fatorar o numerador:

Resposta

A derivada de é:

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